1:相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型(一)A字型、反Ａ字型(斜A字型）Bﻩ（平行）(不平行)（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）(平行）(不平行)(三)母子型B(四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:(五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下:当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
(六）双垂型：CAD二:相似三角形判定的变化模型旋转型：由Ａ字型旋转得到8字型拓展CB EDA共享性一线三等角的变形GAB CE F一线三直角的变形２:相似三角形典型例题(１）母子型相似三角形例１：如图,梯形AＢCD中,AD∥ＢC，对角线AC、BＤ交于点O，BE∥CD交ＣA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例２：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠.求证:（1)DADEDB⋅=2; （2)DACDCE∠=∠.例３：已知:如图,等腰△ＡBC中，AB＝AＣ,AＤ⊥ＢC于Ｄ，CＧ∥AＢ,BG分别交AＤ、AＣ于E、Ｆ. 求证：EGEFBE⋅=2．１、如图,已知ＡD为△AＢC的角平分线，EF为ＡD的垂直平分线．求证:FCFBFD⋅=2.A CDEB２、已知:ＡＤ是Rt △A ＢＣ中∠A 的平分线,∠C=９0°,EF 是A Ｄ的垂直平分线交A Ｄ于M,EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1）△AME ∽△N ＭD; （2)ND 2=NC·NB３、已知：如图，在△ＡBC 中，∠ACB=90°,CD ⊥ＡB 于D,E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证:ＥB·DF=AE·D Ｂ4.在∆ABC 中，A Ｂ=AC ，高AD 与BE 交于H,EF BC ⊥，垂足为F,延长AD 到G ，使DG ＝ＥＦ,M 是AH 的中点。
求证:∠=︒GBM 90GMF EHDCA5 已知：如图,在Ｒｔ△ＡＢC 中，∠C ＝9０°,ＢC =２，ＡC =４,P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点Ｄ与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点,且∠ＥPD =∠Ａ.设A 、Ｐ两点的距离为x ,△ＢＥP 的面积为y .（１）求证：AE =2PE ;（2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3）当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积．(2）双垂型1、如图,在△AB Ｃ中，∠A ＝60°，BD 、CE 分别是AC 、A Ｂ上的高 求证：（１)△ＡBD ∽△ＡCE;（2)△AD Ｅ∽△AB Ｃ；(3)BC=２ＥD2、如图，已知锐角△ABC,AD 、C Ｅ分别是B Ｃ、AB 边上的高,△ABC 和△BDE 的面积分别是２7和３，ＤE ＝62,求:点B 到直线AC 的距离。
C（3)共享型相似三角形１、△A ＢＣ是等边三角形，DBCE 在一条直线上,∠D ＡＥ=1２0°,已知BD ＝1，CE=3，求等边三角形的边长．２、已知：如图，在Ｒｔ△AB Ｃ中，AB =AC ,∠DAE =45°.求证:（1）△ABE ∽△AC Ｄ; (2）CD BE BC ⋅=22．C(4）一线三等角型相似三角形例1：如图,等边△ABC 中，边长为6，D 是B Ｃ上动点，∠ED Ｆ=60° (１）求证:△B ＤE ∽△CF Ｄ (2）当B Ｄ=1,FC =３时,求BE例2：（1)在ABC ∆中,5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上(如图)，且6=BP ，求线段CQ 的长;②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5(如下图）,点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ ．当1=CQ 时，求出线段BP 的长.例3:已知在梯形ＡBC Ｄ中，AD ∥ＢＣ，AD <BC ，且ＡD ＝5,AB =DC =2. （1)如图８，P 为AD 上的一点,满足∠BP Ｃ＝∠A ．①求证；△ＡＢP ∽△ＤＰC ②求A Ｐ的长．（2）如果点Ｐ在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合）,且满足∠B ＰE ＝∠A ，PE 交直线B Ｃ于点E ,同时交直线DC 于点Ｑ，那么①当点Q 在DC 的延长线上时，设ＡP =x ,ＣＱ=y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域; ②当C Ｅ=1时，写出AP 的长．ABC PQAB CDCADBEFAB CDABCCBAD例4:如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF . (1)求证：△MEF ∽△BEM ;(２)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长; (3）若EF CD ⊥,求BE 的长．1、如图，在△ＡBC 中,8==AC AB ，10=BC ,D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.（1) 求证:△ABD ∽△DC Ｅ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (３) 当点D 是BC 的中点时，试说明△AD Ｅ是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在△A ＢＣ中, AB ＝AC =6,BC ＝5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是B Ｃ 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段ＡC 于F .(1）求证:△ＤBE ∽△EC Ｆ;(2）当Ｆ是线段A Ｃ中点时，求线段BE 的长;(３)联结DF ，如果△ＤEF 与△DBE 相似,求FC 的长．ABCDECDAPFBACD3、已知在梯形ABCD中，ＡD∥BC，AD＜ＢC,且BC=6，ＡB=ＤＣ=4,点E是AB的中点．(1）如图，P为BC上的一点,且BP=2．求证：△BEP∽△CＰＤ；（2）如果点P在ＢＣ边上移动（点Ｐ与点B、C不重合）,且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点Ｆ在线段ＣＤ的延长线上时，设BＰ=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;②当BEPDMFSS∆∆=49时,求ＢＰ的长.4、如图,已知边长为3的等边ABC∆，点F在边BC上，1CF=，点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG∆,直线,EG FG交直线AC于点,M N,(1)写出图中与BEF∆相似的三角形;(２)证明其中一对三角形相似;（3）设,BE x MN y==，求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(4)若1AE=，试求GMN∆的面积．(５)一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ＡBCD中，CD=2，AＤ＝3，点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作CPPE⊥，EDCBAPA交边AB 于点Ｅ,设y AE x PD ==,,求y 关于ｘ的函数关系式,并写出ｘ的取值范围。
E BA例2、在ABC ∆中,O BC AC C ,3,4,90===∠o是A Ｂ上的一点，且52=AB AO ,点P 是AC 上的一个动点,OP PQ ⊥交线段ＢC 于点Q,（不与点B,Ｃ重合）,设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系,并写出定义域。
１.在直角ABC ∆中,43tan ,5,90===∠B AB C o,点D 是B Ｃ的中点，点E 是ＡB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点Ｆ （1)、求AC 和B Ｃ的长（2)、当BC EF //时，求BE 的长。
(3)、连结E Ｆ,当DEF ∆和ABC ∆相似时,求BE 的长。
F CBA2.在直角三角形A ＢC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点,E 是在A Ｃ边上的一个动点，（与Ａ，Ｃ不重合）,DF DE DF ,⊥与射线ＢC 相交于点F. (１）、当点Ｄ是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD=，求DF DE 的值（３)、当21,6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,，求y 关于ｘ的函数关系式,并写出定义域A3.如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒，6AC =,3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作BF CBAQPDCBA90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y .(1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围;(2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似,求BED ∆的面积.４.如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ,P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C )，作AP PQ ⊥交CD 于点Q ．(图１) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积； (2)当DQ PQ =时，求BP 的长；(图2）（3）设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域．QPDCBA。