课堂典例讲练
பைடு நூலகம்
• 正确理解常量与变量 • 一辆汽车由南京驶往相距300千米 的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽 车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关 系是s＝300－100t，在这里，常量是 ________，变量是________． • [规范解答] 判断常量与变量的关键是看它是 否发生了变化，在这里，常量是南京与上海 的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千 米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路 程s和行驶时间t. • [答案] 300，－100 s，t
本章在复习初中函数知识的基础上，用集合、对应的观点 研究函数，加深对函数概念的理解；通过具体的实例，讨论一 般函数的性质(如单调性、奇偶性)，初步体会函数思想的作用， 为高中后续课程打下基础．
第二章
§1 生活中的变量关系
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 我们拨打国内长途电话时，要在拨打的号码 前加上区号，每个区号对应着一个确定的地 区，每个地区也对应着一个确定的区号，如 北京的区号是010,0591是福州的区号．那么 二者之间是一种什么样的关系呢？这种关系 可以用两个变量来表示．这就是生活中的变 量关系.
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
函 数
无论是私家车还是公共汽车，经常在加油站经历汽车加油 的过程，在看到工作人员调好油价，启动加油机开关后，表示 加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动，直到达到顾客所 需的加油量时才停下来，这时，加油机上已经准确地显示出了 所加油的金额． 其实金额 y 元与加油量 x 升之间有着函数关系．
• [规律总结] 常量与变量必须存在于某一个变 量过程中，判断一个量是常量还是变量，需 看它在这个变化过程中的取值情况．常量与 变量不是绝对的，而是对于某一个变化过程 而言的．
• 关于x的一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，常量是 ________，变量是________． • [答案] k，b x，y • [解析] 根据一次函数的概念，可知x是自变 量，y是x的函数，而系数k，b是常数，属于 常量.
• [错解] ①②③④⑤中变量与变量之间都具有 依赖关系，其中②④是函数关系． • [辨析] 变量与变量之间的依赖关系在生活中 随处可见，但并不是所有的依赖关系都是函 数关系，只有对其中一个变量的每一个值， 另一个变量都有唯一的值与它对应时，它们 才具有函数关系．因此，判断两个变量是否 存在函数关系的关键是确定变量与变量间的 这种唯一的确定关系．
• 3．给出下列关系： • ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关 系； • ②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之 间的关系； • ③橘子的产量与气候之间的关系； • ④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试 号之间的关系． • 其中不是函数关系的有________(只填序号) • [答案] ①③④
函数是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本 的数学模型，是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个 最基本的数学工具． 几乎所有的科学研究领域都使用函数语言， 大到宇宙起源、天体的运动，小到原子、分子的运动，以及研 究人口的增长，金融市场的变化，国民经济的发展，工程技术 的创新等等，都需要使用函数语言来描述．我们日常生活中碰 到的各种各样的问题， 也需要用变量的观点去思考． 由此可见， 我们学习函数的有关知识是多么的重要．
• [正解]
①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中
①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任
给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度 就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量 即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之 不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中 的自变量是时间，因变量是飞行高度，反之不行．而③④中两个 变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关 外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定 越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．
• 依赖关系与函数关系的判断 • • 下列过程中，各变量之间是否存在依 赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒人茶杯中缓慢冷却，并 将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察 温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的 关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系； (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的 关系．
都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，
• • • •
1.下列说法不正确的是( ) A．依赖关系不一定是函数关系 B．函数关系是依赖关系 C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n 也是变量m的函数 • D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n 不一定是变量m的函数
• [答案] C • [解析] 根据依赖关系与函数关系的区别可知 A，B正确．若变量m是变量n的函数，因为 满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多 对一，此时若把m换成自变量，n换成因变 量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与 之对应，所以变量n不是变量m的函数．
• (3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依 赖关系，更不具有函数关系． • (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间 这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时 间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间 存在函数关系，且时间是自变量，路程是因 变量．反之也是． • 综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系， 且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系， 但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖 关系，也不具有函数关系．
• • • • • •
下列变量之间的关系是函数关系的是( A．光照时间与果树亩产量 B．台风的级数与交通事故的次数 C．水稻的产量与施肥量 D．正方形的面积与边长 [答案] D
)
• 通过图像反映两变量之间的关系 • 如图所示为某市一天24小时内的气 温变化图．
• (1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、 最低气温分别是多少？ • (2)大约在什么时刻，气温为0℃？ • (3)大约在什么时刻，气温在0℃以上？两个 变量有什么特点，它们具有怎样的对应关 系？ • [思路分析] 此题是一个通过图像来反映两个 变量之间关系的问题，所以回答问题时应充 分利用图像所反映出的关系．
• 1.变量间的依赖关系 依赖关系 在生活中随处可 • 变量及变量之间的________ 因变量 随 见，初中学习过的函数就描述了________ 自变量 ________ 而变化的依赖关系． • 2．两个变量间的函数关系 • (1)并非具有依赖关系的两个变量都有 函数 关系； ________ • (2)函数关系是指满足对于其中一个变量的 每一个值 ，另一个变量都有________ 唯一确定 的值 ________ 与之对应．
• • •
• [思路分析] 两个变量中的一个变量发生变化 时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依 赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一， 则它们具有函数关系． • [规范解答] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖 关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关 系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变 量．反之不行． • (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生 活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因 素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务 等，所以商品的销售额与广告费之间是不确定性 关系，即不是函数关系．
• 2．李明骑车上学，一开始以某一速度前进， 途中车子发生故障，只好停下来修车，车修 好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车 速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距 离，t为时间)符合以上情况的是( )
• [答案] C • [解析] 因为李明骑车上学路上停留了一段 时，故该段图像平行于横轴，所以只有C符 合条件．
• [规律总结] 1.判断两个变量之间是否具有依 赖关系，只需分析当其中一个变量变化时， 另一个变量是否也发生变化即可，如果发生 变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变 化，则它们不具有依赖关系． • 2．判断两个具有依赖关系的变量是否具有函 数关系时，可分以下两个步骤： • (1)确定因变量和自变量． • (2)判断对于自变量的每一个确定值，因变量 是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则 是函数关系，否则不是函数关系．
• 一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过 药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本 正常，但是下午他的体温又开始上升，直到 半夜亮亮才感觉身上不那么烫了．下面各图 基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变 化情况的是( )
• [答案] C
易错疑难辨析
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下面的变量与变量之间是否具有依 赖关系？是否具有函数关系？ ①一天中温度与时间的关系； ②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关 系； ③油菜在生长期内株高与施肥量的关系； ④人的身高与体重之间的关系； ⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关 系．
• 4．下图是我国2013年某地降雨量的统计情 况，图中横轴为月份(单位：月)，纵轴为降 雨量(单位：cm)．
• 由图中曲线可判断该地2013年的降雨量与时
间是否具有函数关系？
• [解析] 因为对于2013年的每一个月都有唯 一的降雨量与之对应，故可得2013年的降 雨量与时间具有函数关系，且自变量是时 间，因变量是降雨量．
• [规范解答] (1)上午8时气温约是0℃，全天 最高气温大约是9℃，全天最低气温大约是－ 2℃. • (2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃. • (3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量 0≤t≤24，变量－2≤T≤9，由于图像是连续 的，可知它们之间具有随着时间的增加，气 温先降再升再降的变化趋势． • [规律总结] 用图像反映两变量间的关系是一 种常用的表示两变量关系的方法．在解此类 题时要能从图中找到两个变量，并能判断它 们之间的相互依赖关系是如何变化的．