1.何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F 7
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩
1 M F d 2 F d 2ABC 2
又∵
5
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
6
§3–2 力偶与力偶矩
20
解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
mB ( F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0
限制条件： N A 0 解得 Q 75 kN
②空载时，W=0 由 限制条件为：N B
0
mA ( F ) 0
说明：
① M O ( F ) 是代数量。（因为平面内力对
点之距，只取决于力矩的大小及旋转方向）
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④ 力矩的单位:Nm或kNm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
N A N B 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成 设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、 F2 、 F3 ，现求其
合成结果。
16
根据两个平行力合成理论可知，力F1 与 F5 合成一个合力 R1
第三章
力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩
§3–2 力偶与力偶矩
§3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
1
第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O ( F ) F d
一、力对点的矩
mo ( R1 )mo ( R2 ) mo ( F1 )mo ( F5 )mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
mo ( Fi )
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⑴. 当
R1 R2
时，原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时： 合力作用线的位置： 由m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
2
F ' d Fd
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号 M 10
⑶.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
11
=
=
=
=
12
⑷.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
13
结论:
M m1 m2 mn mi
解得
Q(62) P2 N B (22) 0
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
75 kN Q 350 kN
21
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
mA ( F )0 Fi 0,
Q(62) P2W (122) N B 40
3
综上所述可知： • 力F对o点之距不仅取决于力F的大小，同时还 与矩心的位置有关 • 力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移 动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变 • 力的作用线通过矩心时，力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
4
二、合力矩定理
R F i Y i
o ( R ) mo ( R1 ) mo ( R2 )
mo ( Fi )
即: R xR F1 x1 F2 x2 F5 x5 Fi xi
Fi xi Fi xi x R R Fi 当 R1 R2 时(即 Fi 0 时)，原力系合成结果是一
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质
⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
9
M F d
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd
1 1 1
M O F , F F d x2 F x2
+
-
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不 仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线 的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ· ｄ 作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量， 这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。 记：Mo（F） o 点称为力矩中心（简称矩心） d 称为力臂 符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时 ，力矩取正号；做顺时针方向转动时，力矩取负 2 号。
Q P W N A N B 0
解得：
N A 210 kN, N B 870 kN
22
作业：P61
• 3-1 • 3-2 • 3-6
23
24
mA ( F i ) 0 mB ( F i ) 0
其中：A、B两点的连线 必须不与各力线平行
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN,
Hale Waihona Puke W=200kN (最大起重量)，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
合力偶
⑵
mmo ( Fi )Fi xi
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二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以 与两个平行力 R1 和 R2 等效，由公理1，二力 R1 和R2 平衡的充要 条件是：等值、反向、共线，即
R1 R2 ( Fi 0 ) 和
同时满足。因此，
mo ( Fi ) 0 mo ( R1 )mo ( R2 )
平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即：
Fi Yi 0 mo ( F i ) 0
平面平行力系的平衡方程
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平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即
R1 F1 F5 ,
同理
所以
mo ( R1 ) mo ( F1 ) mo ( F5 )
R2 F2 F3 F4 , mo ( R2 ) mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
R1 R2 ( F1 F5 ) ( F2 F3 F4 ) F i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
14
n
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15Nm
解: 各力偶的合力偶距为
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕