5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0：(A,B,C) ，是能控的。 Q c1 B A B A 2B A n 1B
状态反馈后系统 KABK,B,C
Q c 2 B A B K ) B A B K ) 2 B A B K ) n 1 B
能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为：
2)加入状态反馈增益阵： 可求得对 的闭环状态空间表达式：
（34） （35） （36）
式中 闭环特征多项式为： 闭环传递函数为：
（37）
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边 于是得：
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数： （39）
参考输入；
Krn
状态反馈系数阵
对单输入系统，K为n维行向量。
uvKx
ur1
B
0 ：x Ax Bu vr1 -
y Cx Du
D
1/sxn1C源自A+ym1
K：x(ABK)xBv y(CDK)xDv
rn
若D=0
K
K：x(ABK)xBv yCx
闭环系统传递函数为： G k(s)C sI(A B K ) 1B
改变了系统的极点。
（1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0：(A,B,C)任意配置极 点的充要条件是 0：(A,B,C) 完全能控。
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
现代控制理论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
➢本章结构
✓ 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 ✓ 5.2 极点配置问题 ✓ 5.3 系统镇定问题 ✓ 5.4 状态观测器 ✓ 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
xAB(IHD)1HCxB(IHD)1v yCD(IHD)1HCxD(IHD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x(ABHC)xBv yCx
状 态 反 馈 ： x (A B K )x B v
如果 HCK 输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
比较开环系统 0(A,B,C) 与闭环系统 (ABK,B,C)
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可
通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统
获得所要求的性能。
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状 态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、 能观测性、稳定性等)。
而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。
I BK
B AB A2 B 0 I
0 0
rank (Qc2 ) rank (Qc1 )
KAB KBKB
KB
I
n n, rank (Qc2 ) rank (Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
x
1 0
2
3
x
0
1
u
y 1 1 x
ranC C kAran 1 1k1 52n
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur1
B
vr1 +
1/s
xn1
A
C
ym1
rn K
0：(A,B,C)
KABK,B,C
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
D
1/s
xn1
C
+ ym1
x Ax Gy Bu y Cx Du
A
nm G
若D=0，状态空间表达式为
x(AGC)x(BGD)u yCxDu
x (AGC)xBu y Cx
记 作 ： G A G C ,B ,C W G (s)C sI(A G C ) 1B
4)最后，把对应于 的 ，通过如下变换， 得到对应于状态 的 ：
这是由于
的缘故。
5.2 极点配置问题
当 n 1 时 Q c 1 ， Q c 2 ,ra ( Q c 2 ) n rk a ( Q c 1 ) n
当n2时， Qc1B AB
Qc2 B
(ABK)BB
AB0I
KB
I
ran(Q kc2)ran(Q kc1)
当 n 3时， Qc1 B AB A2 B Qc2 B ( A BK )B ( A BK )2 B B AB BKB A2 B ABBK BKAB BKBKB
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
1 2 0 x(A-BK)xBv0 1x1u ra n C (k AC B)K ra n 1 1k 1 1 1n
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系
统零点相对消。
原系 G0(s统 )(s1 s)s(13)
反馈 Gf(后 s)(ss1)s(11)
ur1
B
vr1 -
1/s
xn1
C
A
在系统中引入反馈控制律
u vHy
rm H
+
ym1
其中， vr 1
Hrm
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u vHy
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 +
D
1/s
xn1
C
A
H
rm
+
ym1
u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
ur1
B
vr1 -
0 ：x Ax Bu
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
y Cx Du
rn K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减
形成控制律。
uvKx
其中， vr 1