浅谈数学规划模型在经济学中的应用
一、 起因：经济学中的稀缺与效率
经济学研究的是一个社会如何利用稀缺的资源生产有价值的物品和劳务，并将它们在不同的人中间进行分配。

经济学主要进行三点考虑；资源的稀缺性是经济学分析的前提；选择行为是经济学分析的对象；资源的有效配置是经济学分析的中心目标。

经济学最基本的两大主题即是稀缺与效率，其首要任务是利用有限的地球资源尽可能持续地开发成人类所需求的商品及其合理分配，即生产力与生产关系两个方面。

简而言之，经济学研究的是如何利用有限的资源实现分配的效率，而线性规划模型的研究对象是——(1)在现有的资源条件下，研究如何合理地计划、安排，可使某一目标达到最大化；(2)在任务确定后，研究如何合理地计划、安排, 用最低限度的人、财等资源，去实现任务。

——即线性规划可以以其特定的数学分析方法，实现体现在实际生产生活中的经济学的稀缺资源有效利用。

自1947年美国数学家丹捷格提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。

特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。

从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。

它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。

线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

它是运筹学的一个重要分支，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。

二、 过程：数学规划模型操作
线性规划问题，即是要解决在一组线性的等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题。

线性规划建模型的过程为：
(1) 理解需要解决的问题，明确模型条件以及要达到的目标；
(2) 针对问题定义一组决策变量，用x =(x 1, x 2, …, x n )T 表示某一方案。

(3) 用决策变量的线性函数形式表示出所要寻求的目标，称为目标函数。

按问题的不同，要求目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化；
(4) 用一组含有决策变量的等式或不等式来表示在解决问题的过程中所必须遵循的约束条件。

其标准形式为：
三、 应用：具体案例结合分析
1122min n n
z c x c x c x =+++ 11112211211222221122..(1)n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b s t a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 12,,,0n x x x ≥
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。

生产组织计划问题
例某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。

该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？
解答：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。

则：目标函数： max z = 2x 1 + 3 x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 <8 .
4 x 1 <16
4 x 2 <12.
x 1，x 2 > 0
合理下料问题
下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是
2.9，2.1,1.5（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。

现在要制造100
台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整
数解。

例如y 1=2,y 2=0则y 3只能为1，余料为0.1。

象这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式，如表1-2所示。

第二步：建立线性规划数学模型。

设x j (j=1,2…,8)为第j 种下料方案所用圆钢的根数。

则数学模型为 2.9y 1+2.1y 2+1.5y 3≤7.4
如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：
四、 反思：线性规划在经济学中的发展及局限
一方面，我们无法忽视数学在经济学这门学科的发展中起到的至关重要的作用。

经济学中的很多问题是复杂的、抽象的，只有将影响某一要素的各项因素综合考虑进来，并且最终建立定量数学模型，用确实的数学表达式贴切的描述各项要素间错综复杂的关系，才能够有充足而坚实的理论基础来论证经济学中的理论观点。

简而言之，数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻画。

数学经济建模促进经济学的发展，带来了现实的生产效率。

在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。

如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。

而线性规划模型作为一种最为基础的重要模型，在以上各方面都有不可磨灭的作用。

不论是决定生产组织计划、生产工程配给，还是更为广阔的证券投资组合、工程建设区域效益等各类问题中，数学规划模型总能提供一定的合理依据，结合具体数字，才能造就更为客观的经济效益，真正实现有限资源的高效利用。

然而，在另一方面，经济学毕竟不是数学。

相比较高度浓缩凝练的数学表达式，经济学本身也有更多重要的经济思想，很多主观因素或不可测变量也不是仅仅由数学模型能够表达清楚的。

而线性规划模型更是要求所求问题的每个变量都可以归于一个准确的线性关系，但这在现实经济生活中往往是难以达到的，因此还需要引入更多的数学模型，甚至除数学以外的其他方法才能更准确完整地表达、分析、提供对策。

例如，环境因素和生产安排的互相影响往往是难以估量的，我们在数学模型中得到的大体结果依然要结合实际情况再做进一步的分析和调整。

对与经济学中的数学来讲，它充当的更多的是一种分析工具的作用，而不能单纯替代经济学，或者将经济学作为数学的依附，这些都会导致我们错失很多此学科本身的魅力。

总之，经济学与数学在交融中互相促进，共同发展。

经济学借助数学方法以更好地实现“有限资源充分利用”的初衷，而数学以经济实例在生活中处处展现熠熠光辉。

我们有理由相信，在彼此的相互促进发展中，现实的经济生产生活将会得到更好更快更合理的进步！ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=≥=+++++=++++=+++82,1,0100
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765324321，
j x x x x x x x x x x x x x x x x j。