1、证明不等式：当 0 x 1， e2x 1 x ； 1 x
2、证明：若 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，则
ln 1
b f (x)dx 1
b
ln f (x)dx 。
ba a
ba a
五、定积分应用（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
求由曲线 y x(1 x) 与 x 轴围成的区域 （1）绕 x 轴旋转一周所得旋
a
1 x
2、已知
x y
et et
cos t sin t
，求
d2y dx 2
。
三、计算下列积分（共 15 分，每题 5 分）
1、
e3x ex
1dx 1
，
2、 ln x 2dx ； x
n1
3、
1
ln[x]dx ，这里[x] 表
示不超过 x 最大整数。
四、证明不等式（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
六、幂级数问题（共 12 分，第 1 题 8 分，第 2 题 4 分）
x
n 1
1、求幂级数
n1 n(n 1)
(1 x 1) 的和函数。
1
2、求级数
n1 n(n 1)2n
的值。
七、 多元函数的微分 (共 12 分) 已知函数
f
(x,
y)
x2y2
(x2
y2
3
)2
,
x2
y2
0
试证： f (x, y) 在 (0,0) 处连续且存在偏导数，
x2 y2 2z
z2
, 从 z 轴正向看去，取逆时针方向。
十一、曲面积分（共 12 分）计算第二型曲面积分
I x3dydz 2 y3dzdx 3z3dxdy 其中， 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) 在第一
卦限部分，方向取上侧。
一、求下列极限（本题 16 分）
1、 lim 1 x 3 ； x8 2 3 x
转体的体积； （2）绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
六、级数和函数列问题（共 15 分，第 1 题 7 分，第 2 题 8 分）
1、
求无穷级数 (1)n
n1
n2 2n
的和。
2、设 f (x) 在[0,1] 上连续， f (1) 0 ，证明：
(1) {xn} 在[0,1] 上不一致收敛；(2) { f (x)xn}在[0,1] 上一致收敛。
山东科技大学 2018 年全国硕士研究生招生考试 数学分析试卷
一、极限问题（共 20 分，每小题 10 分）
tan2 x
1、求极限 lim
。
x0 1 x sin x 1
2、设 a1
0,
0,
an1
1 2
(an
an
),
n
1,2, 。
证明： 数列an 收敛，且其极限为 。
二、一元函数的微分（共 20 分，每小题 10 分）
九、重积分问题（共 12 分） 设 F (t)
f (x2 y 2 z2 )dxdydz 其中 f (u) 为连
x2 y2 z2 t2
续可导函数且
f
(0) 0,
f
' (0)
1
。试证：
lim
t 0
F (t t5
)
ln(1 4t) e5t 1
0。
十、曲线 积分 （共 12 分） 计算曲线积分 3ydx xzdy yz2dz ,其中 是圆周
f (1) 2
1 2
xf ( x)dx
0 。证明：
0,1 使得
f
'( )
f
( )
。
0
五、一元函数连续性和微积分（共 15 分）
设 f ( x) 连续， g(x) 1 f (xt)dt 且 lim f (x) A （ A 为常数）。
0
x0 x
（1）求导函数 g( x) ； （2）讨论导函数 g( x) 在 x 0 处的连续性。
七、 讨论题 (本题 12 分)
讨论函数
f
(x,
y)
x3 y3 , x2 y2 0 x2 y2
在 (0,0) 点
0,
x2 y2 0
（1）连续性；（2）偏导数存在性；（3）可微性。
八、极值问题（12 分） 求函数 ln x ln y 3ln z 在条件
x2 y2 z2 5r 2 (x 0, y 0, z 0) 上的极大值，以此结果 证明不等式： abc3 27 a b c 5 , 其中 a, b, c 为任意正常数。
0,
x2 y2 0
但不可微。
八、证明题（共 15 分，第 1 题 8 分，第 2 题 7 分）
1、设
f
( , ) 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程：
2 f 2
2 f 2
0,
试证：
函数 z
f
(x2
y2,2xy) 也满足拉普拉斯方程 2z x 2
2z y 2
0。
2、证明：含参量积分 I ( ) ex2 dx ，当 0 时收敛但不一致收敛。 0
C
其中 C
是抛物线 y2
2x
上由
O(0,0)
到
A(
,1)
的一段弧。
2
十一、计算曲面积分（12 分）计算第二型曲面积分
I [ f (x, y, z) x]dydz [2 f (x, y, z) y]dzdx [ f (x, y, z) 2z]dxdy
其中， 为平面 x y z 1 在第四卦限部分，方向取上侧。
一、求极限（共 15 分，每题 5 分）
1、求
lim
x0
x
1 x
；
x
(arctan
t
)
2
dt
2、求 lim 0
；
x
1 x2
3、求 lnim
11 n2 n3
1 n2
2 n3
1 n2
n n3
。
二、计算下列各题（共 15 分，每题 5 分）
1、已知 y arctan x 2 ，求 dy ； 2、已知 y x4 ，求 y(n) (n 4) ；
5
九、重积分问题（12 分）设 F (t)
f ( x2 y2 z2 )dxdydz
x2 y2 z2 t 2
其中 f (u) 为连续可导函数且 f (0) 0, f '(0) 1 ，求 lim F (t) 。
t t0 4
十、计算曲线积分（12 分）
计算曲线积分 (2xy3 y2 cos x)dx (1 2 y sin x 3x2 )dy ,
1、已知
y2
2
ln
y
sin2
x
，求
d2y dx 2
。
2、设
f
(x)
1 cos
x
,
x, x
x 0,
0,
问：当 为何值时？
（1）在 x 0 连续； （2）在 x 0 可导, 并求 f (0) 。
三、一元函数的积分（共 10 分）
求积分
2
4
xdx 1 cos 2x
。
四、一元函数微积分及应用（共 10 分）设 f ( x) 在 [0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1] 上可微且