专题六、解析几何（一）直线和圆1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =；（2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0；（3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0；3.圆的方程：()()222x a y b r -+-=或()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，无xy 。

4.直线与圆相交：（1）利用垂径定理和勾股定理求弦长:弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。

若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02=++c bx ax ，其判别式为∆，则弦长公式（万能公式）：12l x =-=ak a c a k ∆+=--+=22214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。

这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。

5.圆的切线方程： （1）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->]第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。

特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。

（2）点在圆上：若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为：⇒=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。

点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。

由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。

（3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22200x a y b r -+->，过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

6.两圆公共弦所在直线方程：圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。

7.圆的对称问题：（1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。

（2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。

（3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。

（4）圆C1关于点P对称的圆C2：两圆圆心关于点P对称，且半径相等。

例1.已知直线0=++c by ax 中的 a ，b ，c 是取自集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线共有_______条。

例2.已知圆C ：4)4(22=-+y x ，直线l ：04)1()13(=--++y m x m（Ⅰ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅱ）已知坐标轴上点A （0，2）和点T （t ，0）满足：存在圆C 上的两点P 和Q ，使得TQ TP TA =+，求实数t 的取值范围．变式训练：1.直线01)1(22=-++y a ax 的倾斜角的取值范围是____________2.若01298=-+-y x kxy 表示两条直线，则实数k =__________3.若点A （1，0）和点B （4，0）到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有____条。

4.直线l 过P （1，2），且A （2，3），B （4，﹣5）到l 的距离相等，则直线l 的方程是_________________5.若直线l 1：032=+++a y ax 与l 2：04)1(=+++y a x 平行，则实数a 的值为________6.过点P （3，0）有一条直线l ，它夹在两条直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与l 2：x+y+3=0之间的线段恰被点P 平分，则直线l 方程为____________________7.过点(5，2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________________ 8.（2007湖北）已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且 公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_______________条。

9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若△ABC 的顶点A （2，0），B （0，4），且△ABC 的欧拉线的方程为02=+-y x ，则顶点C 的坐标为（ ）A.（﹣4，0）B.（﹣4，﹣2）C.（﹣2，2）D.（﹣3，0）10.已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos ， 直线l 的方程为_________________________11.已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A ， 则A ∠的平分线所在直线的方程为________________12.若点P （m ﹣2，n+1），Q （n ，m ﹣1）关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________________ 13.直线x-y-2=0关于直线x+y+1=0对称的直线方程__________________14.（2012全国）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE=BF=73，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ）A.16B.14C.12D.1015.如图，点A 、B 、C 的坐标分别为（0，2），（﹣2，0），（2，0），点M 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点M 出发，经BC ，CA 反射后又回到起点M ．若光线NT 交y 轴于点（0，32），则点M 的坐标为______________16.（2016金山区一模）已知点P 、Q 分别为函数)0(1)(2≥+=x x x f 和1)(-=x x g 图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________17.在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∠A 为直角，P 为AB 中点，M 、N 分别是BC ，AC 上任一点，则△MNP 周长的最小值是____________18.直线011)3()12(=+-+--k y k x k 所经过的定点坐标为_________19.曲线C 1：124=-y x |与曲线C 2：128=+yx |所围成的图形面积为_________ 20.点P 在△ABC 内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P 到三边的距离分别是d 1，d 2，d 3，则d 1+d 2+d 3的取值范围是____________21.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.双曲线D.双曲线的一支 22.已知圆C 满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离为55；则圆C 的方程为______________________ 23.设集合A={y x y x y x +≤+22),(}，则集合A 所表示图形的面积为___________24.已知圆C ：012422=+--+y x y x ，直线l ：043=+-k y x 圆上存在两点到直线l 的距离为1，则k 的取值范围是___________25.已知a ≠b ，且04cos sin 2=-+πθθa a ，04cos sin 2=-+πθθb b ，则连接两点（a ，a 2），（b ，b 2）的直线与圆心在坐标原点的单位圆的位置关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.不能确定26.已知圆C ：1)1()1(22=-+-y x ，点P 为直线l ：0143=++y x 上的一动点，若在圆C 上存在点M 使得∠MPC=30°，则点P 横坐标的取值范围________________27.已知⊙O 1：14422=+y x 与⊙O 2：02163022=+++y x x ，则两圆公切线的方程为________28.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，则直线AB 的方程为_______________29.圆C 的方程为4)2(22=+-y x ，圆M 的方程为1)sin 5()cos 52(22=-+--θθy x ，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ， 则PF PE ⋅的最小值为________________30.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________31.（2005江西）如图，设抛物线C ：y=x 2的焦点为F ，动点P 在直线l ：x ﹣y ﹣2=0上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点． （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明：∠PFA=∠PFB ．32.如图，过点A ），（a 0作直线l ，交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足AC AB λ=，PC BP λ=. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹交圆M 于点R 、S ，求△MRS 面积的最大值．。