当梁下部混凝土应力达到 f t 时,混凝 土梁上边缘的压应力及开裂弯矩分别为:
fc 1.731ft
M cr 0.256 f t bh
2
当梁为弹性材料时,则素混凝土梁的弯 曲抗拉强度:
6M cr ftf 1.536 ft 2 bh
截面抵抗矩塑性影响系数:
m
f tf ft
1.55
s1 h0 1.25x y h0 1.25xb
h0 1.25x 0.8 s fy fy h0 1.25xb 0.8 b
钢筋沿截面高度分布
钢筋沿截面高度分布
将沿截面高度分布的分离式钢筋，换算成面积相等但连续的钢 腹板；对于圆形或环形截面，则换算成边续的薄钢管。构件在 极限状态时，在中和轴两侧各ηxu范围内的钢筋应力低与fy，其 中η可按平截面假定确定：
轴力弯矩包络图
双向压弯构件
中和轴O-O和荷载作用平面不相垂直（α ＋θ ≠90°），且两个 方向挠度的合成（Wx+Wy=W）也不在荷载作用平面内（β≠α）
计算时仍依照平截面假定处理，即 截面应变与应力成正比，受压区混 凝土应力仍简化为矩形分布等。
0.0033 K y h a y ax cot K yh
受压等效应力图
当混凝土的σ-ε曲线采用二次抛物线-平行线形状作为受压区 应力图形时，α 、β 取决于极限应变ε u。
受压等效应力图
• 对于混凝土强度等级在C20~C50和一般的配 箍量情况下，受弯构件εu=（3~4）×10-3。从 图可见，当εu≥3×10-3后，α、β值的变化不 大，当εu=3.3 ×10-3，相应的参数为：
C
1f c 2K xb 2K y h
2
21f c 2 K x K y bh 2 f c 2 K x K y bh
双向弯曲构件
合力位置：
1 x 2K x b 0.67 K x b 3 1 y 2K y h 0.67 K y h 3 内力平衡条件：
受压等效应力图
c
u
xu
y
c
u
xu
y
构件极限状态时截面压区高度为xu,顶面混凝土应变为εu则距中 和轴任一位置y处的应变为：
c
u
xu
y
u c y x u
受压等效应力图
压区混凝土总力即压应力图块的体积：
u C c x u 0
双向压弯构件
Mx My 1 M M xu yu


沿极限轴力Ｎu=const 平面与包络面的交线为 一族曲线；对于圆截面 柱，曲线为圆形；对于 非圆柱，曲线为非圆形， 若改为以相对坐标Ｍ x/Mxu和Ｍy/My,，该族曲 线的一般表达式为 （α ＝１.15～1.55≤2.00）
双向压弯构件
Mx My 1 M M xu yu

（α ＝１.15～1.55≤2.00）
当已知双向偏心距为ηxe0x和ηye0y时，取近似公式：
1 1 1 1 N u Nux N uy N u 0
Nu0----同截面的轴心受压承载力；
超筋梁中的钢筋应力
• 不论是适筋与超筋，受压侧的混凝土均达到抗压强度fc， 极限应变εu＞3×10-3。则压区钢筋(钢筋位置为xu-as, xu=x/β=1.25x,)应力：
1.25 x a s s s Es u Es 1.25 x
超筋梁中的钢筋应力
• 当ξ＞ξb时，受压区混凝土破坏， 受拉区钢筋应力σs＜fy，则有：
Nux(Nuy)----按单向偏心距ηxe0x（ ηye0y）计算的极限承载力
h ay ax s 3 0.0033 1 Kb K h x y
s4
b ax h a y 0.0033 1 K xb K yh
双向弯曲构件
对于混凝土总压力合力及其位置有可能出现4种情形，对 于第1种情形，可得其合力：
受压等效应力图
• 矩形中心至顶面距离为β xu/2，与上式相等则：
2 c u x u 0
xu
y bxu y dy Cxu
• 由面积相等得： C bx f u c
C bxu f c
α 、β 是应力图形换算参数，其值主要取决于混凝土的σ ε 曲线和极限应变ε u。与强度（γ ）无关。
C S1 S2 S3 S4 0
Mux C(h y) (S1 S2 )(h ay ) (S3 S4 )ay
Muy C(b x ) (S1 S3 )(h ax ) (S2 S4 )ax
总合力矩：
2 2 M u M ux M uy
xu
y bdy
合力作用点到梁顶面的距离为：
xu
u c xu 0
y bxu y dy C
折换成矩形应力图，当两个图形的体积相等且重心重合时， 则总压力的数值和作用位置相同，两者等效。设等效矩形应 力图的压区高度为β xu，均匀的压就力为α γ fc
h0 1.25x h0 s s Es u Es 0.8 1 u Es 1.25x x
代入基本方程得一关于x的三次方程， 为简化，改为近似方法计算 A/OA为界限破坏状态，当xu＞xub时，截面应变分布为 A/O/B，过O/作O/C//OA，得近似应变εs1

fy
u Es
钢筋沿截面高度分布
上、下端钢筋的应力均达到强度fy或f’y. 为防止在使用阶段出现过高拉应力和过宽的裂缝，一般 取εs≤10×10-3 若忽略中和轴两侧ηxu范围内钢筋的受力作用，建立的计 算式更为简单，所得极限承载力一般不超过2.5%。
偏 心 受 压 构 件 （ 单 向 弯 曲 ）
压弯构件
受弯与受压构件的受力特性是 基本相同的
P
受弯构件
P
对称截面分析的计算简图
a)
钢筋 混凝土应力和中和轴的位置变化关系
中和轴位置变化
钢筋与混凝土的应力变化
少筋 适筋和多筋梁的比较
弯矩-曲率关系
少 筋 适 筋 和 多 筋 梁 的 比 较
钢筋应力变化 中和轴变化
少筋梁
少筋梁截面混凝土应力分布:
s1
双向弯曲构件
双向弯曲构件
ay ax s1 0.0033 1 K b K h x y
由钢筋的σ-ε曲线得： 当εsi≥∣εy∣时，则： σsi=fy; 当εy＜εsi＜-εy时， σsi=εsiEs
s2
b ax ay 0.0033 1 K xb K y h
双向压弯构件
曲面与3个坐标轴的交点分 别为轴心受压承载力Ｎ０和x、 y方向单向极限弯矩Ｍx0 和 My0（Ｎ＝０）；它与两个 竖向坐标面的交线分别表示 x、y方向单向轴心极限轴力 －弯矩包络线；其上的（Ｍ xb,Nb）和（Ｍyb,Nb ）为界 限偏心状态；与水平坐标面 的交线为双向受弯（Ｎ＝０） 的包络线
α=0.969；β=0.824
引入参数γ后取整简化为γα=1.0；β=0.8
界 限 受 压 区 高 度
b
xb u h0 u y
b
xb u h0 y
u 0.00264 b ( u 0.0033 y f y / Es , 0.8) , u y 0.0033 f y / Es
梁最小配筋率:
设钢筋屈服,极限 状态时截面的内力臂 (一般为0.7h0)为:
Mu bh0 f yh
当 M u M cr 时:
2
2 0
ft 1 h ft 0.45 min 最小配筋率 0.256 f y h0 fy
超筋梁
受压区应力图的特征系数