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更多的例子
• 在微波和射频设备中，实现了大量的复杂外形的例子：
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implicit FDTD及相关问题
• 在放电问题中，我们可能只关心低频电磁波，此时如果继续使用标准的 FDTD模型，则CFL条件会限制时间步长取值，导致极大的计算资源开 销：
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电介质行为
• 在介质阻挡放电和闪络研究中，都需要处理介质中的电磁场。 • VORPAL允许在电磁场求解中加入介电常数和磁导率，无论电磁还是静 电模型： – <Dielectric kapton> – <STFunc function> – kind = expression – expression =DIE_ELEC_CONST*Dielectric_fun(x,y)+1. – </STFunc> – </Dielectric> • 技术上，也可以允许电荷沉积在电介质表面。
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放电过程的PIC模拟
• 放电过程一般来说是碰撞和电离过程主导的。由于电子-背景气体碰撞 截面和电离截面都依赖于能量，因此能量分布函数会强烈地影响放电行 为。 • 一般来说，碰撞几率较高的时候，能量分布为Maxwellian。而碰撞几 率低且粒子能量较高的时候，分布会强烈偏离麦克斯韦形式，于是需要 动理学模拟。 • 在放电问题中存在另一个麻烦，即边界面行为。边界条件的复杂使得问 题的处理变得更加困难。 • 因为涉及到动理学和边界行为，低气压放电等离子体问题常常需要PIC 模拟。 • 此外，涉及到壁面二次电子等行为的放电问题，例如multipacting等过 程也需要PIC模拟。
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主要困难
• 放电过程的模拟，原理上就是PIC-MCC。即用标准的PIC算法处理等离 子体运动，用蒙特卡洛方法模拟粒子之间的碰撞。但相比于其他问题的 PIC模拟，放电问题存在一些特有的问题 – 1. Grid Heating问题更严重：在放电过程中存在电离碰撞，网格自 加热主要的不会提高等离子体温度，而是增加电离率提高等离子体 密度，提高的等离子体密度进一步加强了Grid Heating。 – 2.模拟时间很长，由于放电特征时间主要决定于电离截面和离子渡越 时间，而这两者涉及到微秒甚至毫秒的时间间隔 – 3.常常是静电模型的，而静电场方程的全局特性使其高效并行十分困 难，于是计算性能问题变得非常严重。 – 4.放电腔室和电极结构都可具有复杂的几何形状，因此必须具有对复 杂几何外形建模的能力。此外，考虑到电磁波的反射，在曲线部分 应该能够避免阶梯逼近 – 5.能够处理粒子数的雪崩
VORPAL 概述
• • • • VORPAL 是Tech-X公司开发的等离子体PIC模拟程序。 2004年，JCP 文章 2004年，Nature 封面文章 从2004年以来，经过多个版本更新，已经发展为一个具有多种功能扩 展的等离子体综合模拟程序
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The concept of PIC algorithms
error E ( jt ) / 0
– 对于显格式的Yee推进，散度误差是自然守恒的，但大部分ADIFDTD算法并不保证这一点。
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散度守恒和虚假解
• 利用散度守恒模式和简单的ADI-FDTD模式进行计算，可以看到明显的 虚假解被消除了。下面是一束粒子经过一段时间自由运动后出现的结果 ，左面的结果是在非守恒格式下计算，很快散度误差已经大于束流的实 际电荷密度，于是束流发生虚假的发散。而在散度守恒模式下计算，没 有出现这个问题：
• 此时，可以使用针对电磁场的隐格式时间步推进来处理电磁场建模 • VORPAL目前支持两种电磁场隐格式模拟：yeeImplicit模型和ADI模型 ，前者使用稀疏矩阵求解Maxwell方程；后者使用变形（针对DeyMittra网格以及PIC）的ADI方法。 • 尽管ADI-FDTD本身非常简单，但在PIC中使用的电磁场推进算法必须 能够保持散度误差守恒，否则会出现虚假解： – PIC只推进两个旋度方程，因此原则上散度误差并不能保证不变
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Multifield和ComboField
• • • • 对于更复杂的问题，VORPAL提供MultiField和ComboField模式 在模拟中可能需要自定义的外部电磁场（比如外加磁场等等） 甚至可能需要和其他物理场耦合 MultiField允许用户自己写出独立的场定义和推进公式，修改标准的 FDTD算法或者加入别的物理场 • 最早的例子发展于托卡马克射频加热模拟：
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Cutting-cell与CAD import
• 这种方法称为Dey-Mittra Conformal FDTD。 • 为了运用这种技术，需要能在软件中导入复杂外形数据 • VORPAL引入CAD STL import功能来实现这一点：用户可以用CAD软 件产生一个stl文件，然后用vorpal导入，就可以作为一个金属表面来使 用。ing-cell
• 当边界面是个曲面的时候，需要特别注意，直接用锯齿的矩形网格去逼 近，对于电磁模型会带来很大的误差 • 处理这种情况的标准做法是局部细化网格或者在边界处采用梯形近似， 后者如图：
• 在边界处用梯形或者三角形边界求和来代替标准的差分程序：
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静电模型和求解器
• 在低频放电过程中常常需要使用静电模型对于电磁场进行建模，静电模 型在理论上很简单，就是求解Poisson方程 • 但实践中并行求解Poisson方程是相当复杂的事情，因为Poisson求解 器总是全局的，从而很难写出一个高效率的并行程序 • 此外，对于复杂外形，构造有效的Poisson求解器也很困难 • VORPAL使用Trilinos库进行静电模型求解，这个求解器允许 – 1.支持ICCG,B-Jacobi,AMG等多种预条件 – 2.提供CG，BiCGSTAB，GMRES，CGS等多种求解器 – 3.内嵌了并行算法，可以在各种并行体系下运行 – 4.无缝支持Dirichlet和Neumann边界条件及其组合