高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题
1. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，已知：3C π=
，a b c λ+=（其中1λ>）
(1)当2λ=时，证明：a b c ==； (2)若3AC BC λ⋅=u u u r u u u r ，求边长c 的最小值.
2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=-
（1）求函数()f x 在区间[,]42
ππ上的值域；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =，求ABC ∆面积的最大值。

3. 已知函数2()22cos f x x x m =+-
(Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π
∈上有解，求m 的取值范围；(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对
的边，当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-，2b c +=时，求a 的最小值
4. 在ABC ∆中，sin A a =． (1)求角B 的值；(2)如果2b =，求ABC ∆面积的最大值．
5. 如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o
，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设AOP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.
6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5
C =． (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ︒
∠=，22OP =M 在线段P Q 上． (1)若5OM =PM 的长；
(2)若点N 在线段MQ 上，且30MON ︒∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．
试卷答案
1. 答案：(1)见解析
(2)见解析
分析：(1)∵a b c λ+=，由正弦定理得，sin sin sin A B C λ+==
2
sin sin()3B B π∴+-=sin()1,63
B B ππ+=∴=，∴AB
C ∆为正三角形，a b c ∴==.
(2)由余弦定理得；2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，
又由3AC BC λ⋅=u u u r u u u r 知：32,ab λ=再由a b c λ+=可得：
322232
2661c c c λλλλ=-⇒=-，设3
26()(1)1f λλλλ=>-，下面求()f λ的最值.求导函数
()f λ'=，当()0f λ'=时，解得λ=0,λλ==.由于当
1λ<<()0f λ'<；
当λ>()0f λ'>，故()f λ在上时减函数，在)+∞上是增函数，因此当λ=()f λ取极小值，
又在(1,)+∞上()f λ有且只有一个极值点，所以当λ=
()f λ取到最小
值.min ()f f λ==
于是在ABC ∆中边长c 存在最小值，不存在最大值，其最小值为min c =
=.
2. 答案：答案见解析
分析：（1）()2cos (sin )sin 222sin(2)3f x x x x x x x π===-
， 由
42x ππ剟 ，有22633
x πππ-剟，得函数()f x 的值域为[]1,2.
（2）由()f C =，有sin(2)32C π-
=，又角C 为锐角，则22333C πππ-<-<， 从而233C π
π
-=，得3C π
=
由余弦定理得：224a b ab +-=，又222a b ab +…
，故224a b ab ab =+-…。

从而1sin 24
ABC S ab C ab ∆=
=„故当a b =，即ABC ∆为正三角形时，ABC ∆. 3. 答案：答案见解析
分析：（1）()2sin(2)16f x x m π=++-，2sin(2)16m x π∴=++在[0,]2π内有70,2666
x x ππππ∴+Q 剟剟 02sin(2)3,036x m π
∴+∴剟剟
（2）3,()2sin(2)216m f A A π==+-=-Q ， 1sin(2),226266A A k ππππ∴+=∴+=+ 或5
22,()(0,),663A k k Z A A π
ππππ+=+∈∈∴=Q ，,23
A b c π=∴+=Q …当且仅当b c =时bc 有最大值1
22222cos ()343a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-
a ∴有最小值1，此时1
b
c ==
4. 答案：答案见解析
分析：(1)因为
sin sin a b A B =，sin A B a b =，
所以sin ,tan B B B ==
因为(0,)B π∈，所以3B π
=．
(2)因为3B π
=， 所以2221cos 22
a c
b B a
c +-==，
因为2b =，
所以2242a c ac ac +=+≥，
所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立），
所以1sin 2
ABC S ac B ∆=≤
所以ABC ∆
5. 答案：3
6. 答案：见解析
分析：(1) 如图作BD CA ⊥于点D ，设20BD k =，
则25,48,52DC k AD k AB k ===，
由631260AC k m ==知：521040AB k m ==．
(2) 设乙出发x 分钟后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示． 则：130,50(2)AM x AN x ==+，
由余弦定理得：2222
2cos 74001400010000MN AM AN AM AN A x x =+-⋅=-+， 其中08x ≤≤，当35(min)37
x =
时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． (3) 由(1)知：500BC m =，甲到C 用时：()1260126min 505
=． 若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：()1261413min 55+=，在BC 上用时： ()86min 5
． 此时乙的速度最小，且为：861250500543
m ÷=/min ． 若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：()1261113min 55-=，在BC 上用时： ()56min 5
． 此时乙的速度最大，且为：56625500543
m ÷=/min ， 故乙步行的速度应控制在1250625[,]4314范围内．
7. 答案：(1) 1MP =或3MP = (2) 83-分析：(1)在中OMP ∆，45OPM ︒∠=，5OM =22OP =
由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP ︒
=+-⨯⨯⨯， 得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=，060α︒︒≤≤，
在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP
=∠∠， 所以()
sin 45sin 45OP OM α︒
︒=+， 同理()
sin 45sin 75OP ON α︒
︒=+ 故1sin 2
OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()
221sin 454sin 45sin 75OP αα︒
︒︒=⨯++ ()()
1sin 45sin 4530αα︒︒︒=+++ ()()()31sin 45sin 45cos 45ααα︒︒︒=⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦()()()231sin 45sin 45cos 45ααα︒︒︒=
++++
=
444
=
= 因为060α︒︒≤≤，30230150α︒︒︒≤+≤，所以当30α︒=时， ()sin 230α︒+的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．
即30POM ︒∠=时，OMN ∆
的面积的最小值为8-．。