●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．x互为反函数4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝loga(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节容在高考中属于必考容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作loga N，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga (MN)＝logaM＋logaN；②loga MN＝logaM－logaN；③log a M n＝nlog a M(n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．(3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）2.反函数x互为反函数，指数函数y＝a x与对数函数y＝loga它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y x对称．2) 如果点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，则必有f－1(y0)＝x0，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A．loga b·logcb＝logcaB．loga b·logca＝logcbC．loga (bc)＝logab·logacD．loga (b＋c)＝logab＋logac解析由对数的运算性质：loga (bc)＝logab＋logac，可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，loga b·logcb＝logca⇒lgblga·lgblgc＝lgalgc⇒lg2b＝lg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，loga b·logca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝logcb，故恒成立．答案 B例1.(2) (补充) 计算下列各式的值(1)2lg2lg3111lg0.36lg823+= ++(2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+=(3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练 lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析∵4a＝2，∴a＝log42＝12.由lgx＝12，得x＝1012＝10.例2.（2）《名师一号》P28 高频考点例1(1) 若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝3 3，所以(2x －2－x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．练习:(补充)已知1135,2a bk a b==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2) 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用 例1. (补充)求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.5(4x －3). (2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0， 即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎨⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎨⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0. 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习： 已知集合(){}22log x y x ax aR =--=数a 的取值围．解析：设f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a2＋4a<0∴－4<a<0，即a的围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·卷)函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________．解析根据对数运算性质，f(x)＝log2x·log2(2x)＝12log2x·[2log2(2x)]＝log2x(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x＋122－14，当x＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值围．练习：1、求下列函数的值域（1）y＝log15(－x2＋2x＋4) [答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log22x－3log2x2＋2⎝⎛⎭⎪⎫12≤x≤2[解析] 令t＝log2x，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1.∴函数化为y＝t2－6t＋2＝(t－3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=数a 的取值围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a 能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4(x＋2 015)＋2的图已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ， ③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A ．a>b>1>c>dB ．b>a>1>d>cC ．1>a>b>c>dD ．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y ＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”. 利用1log a a =，图象都经过()1,a 点，作直线1y =，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a 。

例3.（3）《名师一号》P28 高频考点 例2(1)(2014·卷)若函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A B C D答案： B.例4.《名师一号》P28 高频考点例3已知函数f(x)＝log(ax2＋2x＋3)．4(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析:(1)∵f(1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1.这时f(x)＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x 2＋2x ＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧ a>0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a＝12使f(x)的最小值为0.练习：温故知新P32 第5题三、比较大小例1.《名师一号》P29 特色专题典例，则( ) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【规范解答】方法1：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法2：∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y＝5x为增函数，故a>c>b.注意：《名师一号》P28 问题探究问题3比较幂、对数大小有两种常用方法：①数形结合；②找中间量结合函数单调性．练习:1、若0<x<y<1，则( )A．3y<3x B．logx 3<logy3C．log4x<log4y D.⎝⎛⎭⎪⎫14x<⎝⎛⎭⎪⎫14y解析：∵0<x<y<1，①由y＝3u为增函数知3x<3y，排除A；②∵log 3u 在(0,1)内单调递增，∴log 3x<log 3y<0，∴log x 3>log y 3，∴B 错． ③由y ＝log 4u 为增函数知log 4x<log 4y ， ∴C 正确．④由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14u 为减函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，排除D.答案：C2、对于0<a<1，给出下列四个不等式 ①log a (1＋a)<log a (1＋1a )；②log a (1＋a)>log a (1＋1a)；③a 1＋a <a1＋1a；④a 1＋a >a1＋1a.其中成立的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④答案：D解析：由于0<a<1⇒a<1a⇒1＋a<1＋1a，∴loga (1＋a)>loga(1＋1a)，a1＋a>a1＋1a.∴选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是___．[答案] x＝5[解析] 原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.注意：依据对数函数恒单调求解。