附录（5）
斜齿轮齿廓上任意圆螺旋角计算公式的推导
周万峰
大家知道，所谓斜齿轮的螺旋角是指斜齿轮分度圆上的螺旋角。

而分度圆以上圆的螺旋角都大于分度圆螺旋角，分度圆以下圆的螺旋角都小于分度圆螺旋角。

那么不在分度圆上的螺旋角怎样计算呢?也就是说，斜齿轮齿廓上任意圆的螺旋角的计算方法是怎样的呢？它的计算公式是这样的：
ββtg d
d tg k k = （1） k β——斜齿轮齿廓上任意圆的螺旋角；
k d ——斜齿轮齿廓上任意圆直径；
d ——斜齿轮分度圆直径；
β——斜齿轮分度圆螺旋角。

教材、手册上从未见过这个公式，而且一般也极少计算这个k β的值。

不过有时为了验算变位斜齿轮的齿宽能否进行公法线长度的测量还必须计算这个值，即用公式（1）计算。

那么公式（1）是怎么来的呢? 笔者认为它应该是这样推导出来的：众所周知，斜齿轮的螺旋角是这样形成的：即圆柱体绕自己的轴线作等速转动，圆柱面上有一动点沿素线作等速直线运动，此动点的轨迹就是圆柱面上的螺旋线。

将圆柱面展开，则螺旋线展成一条斜直线，如图1所示。

圆柱转动一圈，动点沿素线移动的距离叫做导程，用T 表示。

圆柱展开面上的斜直线1AA (或21A A )与轴线或母线（圆柱面上平行轴线的线）的夹角叫做螺旋角，用β表示。

图 1
显然由图1知，
T R tg 2πβ=
（2）
由公式（2）知，当导程T 一定时，圆柱半径R 越大，则螺旋角β越大；当圆柱体半径R 一定时，导程T 越大，则螺旋角越小。

图2 是斜齿轮齿顶圆展开图，a β是齿顶圆螺旋角。

图3是斜齿轮分度圆展开图，β是分度圆螺旋角。

对同一个斜齿轮而言，分度圆上的导程，齿顶圆上的导程以及齿面上各点的导程都是相同的；但分度圆直径小于齿顶圆直径，故齿顶圆螺旋角大于分度圆螺旋角。

所以，齿顶圆螺旋角的计算公式为T D tg a πβ=,而分度圆螺旋角计算公式为, d tg πβ=所以βπtg d =T ，将T 代入齿顶圆螺旋角计算式，则
ββtg d
D tg a = （3） 这就是齿顶圆螺旋角的计算公式。

如将公式（3）中的D 换成k d ，将a β换成k β则公式（3）就成为了公式（1）。

这就是斜齿轮齿廓上任意圆螺旋角的计算公式。

总之，只要将k d 换成齿廓上哪个圆的直径，则k β即为哪个圆上的螺旋角。

比如计算基圆螺旋角，则将k d 换成b d （b d 为基圆直径）。

如将k d 换成分度圆d ，则ββ=k 。

如此而已。

图2
图3
最后要说明的是：之所以将该公式推导出来，是因为笔者在《变位斜齿轮满足公法线长度测量的有效齿宽的正确计算》一文中使用了该公式；由于该公式在教材、手册上又从未见过，而且它使用的机会又极少，人们对它比较生疏，故在此将它推导出来（显然，第一个推导出该公式的肯定不是笔者，但人家是怎么推导的，不得而知）。

仅此而已。