解：首先将问题化为如下形式：
max z 2 x1 3x2 4 x3
s.t.
2 x1 3x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x j 0( j 1, 2,3)
再根据定义2.1， 写出其（D）问题：
max z cx
s.t.
Ax b x0
为了利用对称型问题的结论，先将问题等价地化为：
max z cx
s.t.
Ax
≤b ≤－b x≥0
Ax
再引入对偶向量（u,v），其中u为对应于第一组不等式约束 的对偶变量， v为对应于第二组不等式约束的对偶变量，按 对称型的结论，可写出其（D）问题为：
b min w (u, v) b
s.t.
A (u, v) c A u, v 0
即 s.t.
min w (u v)b
(u v) A c u, v 0
令y=u-v为m维行向量，则以上模型又可写成：
min w yb
s.t.
yA c y无符号限制
例2.3
s.t.
写出（P）问题的（D）问题.
max z 2x1 3x2 5x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5 3 x1 2 x2 7 x4 4 2 x1 3 x2 4 x3 x4 6 x1 0, x2 , x3 0, x4无符号限制
max z cx
考虑对称形式下

（P）问题：
（D）问题：
min w yb

max z cx
s.t.
s.t. Ax ≤ b x≥0
yA ≥ c y≥0
§2
对偶问题的基本性质
一、对偶规划的若干问题
定理2.1（对称性定理） 对偶问题的对偶是原问题.
定理2.2（弱对偶定理） 设x0和y0分别是（P）问 题和（D）问题的可行解，则必有cx0 ≤ y0b

*

s.t.
Ax Ixs b
c
推论2.4（单纯形乘子定理） 如果（P）问题有最优解，最优基为B， 则y* ＝ CBB-1 就是（D）问题的一个最优解.
如何求对偶问题的最优解
c
cB s x B s
cB
cN
xN
o
b
c
cB xB cB xB
cB
Hale Waihona Puke cNobxB
xs
I b
xB
xN
B 1 N
xs
B 1
* * * yb y Ax cx 得
*
* * 又 x 、y 分别是（P）问题和（D）问题的可行 * 解，所以 x 、 y* 分别是（P）问题和（D）问题的最优 解. 证毕.
二、对偶规划的求解
1、利用原问题的最优单纯形表求对偶最优解的方法 如何求对偶问题的解？
例2.4 s.t.
求如下LP问题的对偶问题的最优解.
例2.2 写出（P）问题的（D）问题.
max z 3x1 x2 2x3
s.t. 3x1 2 x2 3x3 6
x1 2 x2 x3 4 x j 0( j 1, 2, 3)
解：
s.t.
min w by1 4 y2
3 y1 y2 3 2 y1 2 y2 1 3 y1 y2 2 y1 , y2无符号限制
第二章
线性规划的对偶理论
§1 对偶问题的提出 一、对偶问题的实例 LP问题模型： max z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤65 2x1+x2≤40 3x2≤75 x1，x2≥0 已知最优解为： x1*=5，x2*=25，z* =70000
现从另一个角度考虑这个问题 .假定该厂的决策者 考虑自己不生产甲、乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的资源A,B,C全部出售给外单位，则应如何 确定这三种资源的价格. 显然，该厂的决策者要考虑两个原则：第一，每 种资源所收回的费用应不低于自己生产时可获得的利 润；第二，定价不能太高，要对方容易接受. 设y1，y2， y3分别表示三种资源出售的价格，则由 第一个原则，应有如下约束条件： 3y1+2y2≥1500 2y1+y2 +3y3≥2500 y1，y2 ，y3 ≥0 而把原拟用于生产甲、乙产品的三种资源全部售出， 总收入为：w= 65y1+40y2 +75y3
min w yb
（D） s.t.
yA ≥ c
y≥0
y ( y1, y2 ,, ym ) 是一行向量.
例2.1
写出以下（P）问题的（D）问题
max z 2 x1 3x2 4 x3
s.t.
2 x1 3 x2 5 x3 2 3 x1 x2 7 x3 3 x1 4 x2 6 x3 5 x j 0( j 1, 2, 3)
cx y*b cx* yb
定理2.3（对偶定理） 如果（P）问题（（D）问题）有 最优解，那么（D）问题（（P）问题）也有最优解，且 目标函数值相等.

证明:先证明当（P）问题有最优解时，（D）问题也有最优解. * 设 是 x （P）问题的最优解，它对应的基矩阵为B，引入松弛变量， 将（P xs）问题化为标准形式 ( xn1 , xn2 ,, xnm )T
3 混 合 型 对 偶 问 题
约 束 条 件 变 量
.
原问题
对偶问题
目标函数max
目标函数min
m个 ≤ ≥ ＝ n个 ≥0 ≤0 无符号限制 目标函数的系数 约束条件右端常数 系数矩阵A
m个 ≥0 ≤0 无符号限制 n个 ≥ ≤ ＝ 约束条件右端常数 目标函数的系数 系数矩阵AT
变 量 约 束 条 件
0 x 证明： 因为是 （P）问题的可行解，故必有
（2.11） Ax0 ≤b， x ≥0 0 又 y 是（D）问题的可行解，于是有 0 y 0 A ≥ c， y ≥0 （2.12） 0 0 y Ax0 ≤ y 0b y 用 左乘不等式（2.11）两边，得 0 0 0 y Ax x 用 右乘不等式（2.12）两边，得 ≥ cx 0 0 y 0b cx 从而有 ≤
解：根据对偶规划表，可直接写出该问题的（D）问题.
min w 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 －5 2 y1 7 y2 y3 1
s.t.
y1 0, y2 0, y3无符号限制
max z cx oxs
x x, xs ≥0 x * * x 显然，该问题也有最优解 s 由第一章定理1.7（最优性判别定理）必有检验数 (c, o) cB B1 ( A, I ) ≤0 * 1 y * ) ≤ 0， 令 y cB B ，则有 (c y* A, * 即 y A ≥ , y * ≥0. 这表明 y * cB B 1 是（D）问题的可行解，对应的目标函数值为： w* y *b cB B 1b 又因为 x * 是（P）问题的最优解，其目标函数的值 为 z * cx* cB B 1b * 1 * 所以有 cx c .B B b y b 则由推论2.1知（D）问题有最优解，且两者的目标函数的最优值 相等.
min w 2 y1 3 y2 5 y3
s.t. 2 y1 3 y2 y3 2
3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 yi 0(i 1, 2,3)
2、非对称型对偶问题 如果原问题是LP问题的标准形式，记（P）问题为：
当然，对厂方而言，w越大越好，但根据第二个原 则，在保证上述条件下，应考虑使总收入即对方的总 支出尽可能少才比较合理，因为只有这样，厂方不会 吃亏，对方也容易接受.于是，该问题的数学模型归结 为： min w= 65y1+40y2 +75y3 s.t. 3y1+2y2≥1500 2y1+y2 +3y3≥2500 y1，y2 ，y3 ≥0 这也是一个LP问题，用单纯形法解之得最优解为： y1*=500，y2*=0， y3* =500 及相应的目标函数最优值： w *=70000
a1n y1 a2n y2 amn ym
c1
c2
≥
cn
yi
≥0 （ i 1,2, ）, m
其中yi(i=1,2,…m)称为对偶变量，并称以上两式为一 对对称型对偶问题。
如果用矩阵形式来表示模型，则可更清楚地看出两者 之间的对称性.
max z cx
（P） s.t.
Ax b x 0
对原问题引入松弛变量 x4,x5,将原问题化为标准 形式，由单纯形法求解 得最优单纯形表(左图) 原问题的最优解和目标值：
x* (0, 25, 25)T
2
z* 250
w* 250

* * 当bi ai1 x1 ain xn 时yi* 0
* * 当a1 j y1 amj ym c j时x* j 0 * * 当x* 0 时 a y a y j 1j 1 mj m c j
* * * * ( y A c ) x 0 y ( b Ax ) 0 充分性 由 ，
0
即最大值比最小值小
推论2.1 如果x*和y*分别是（P）问题和（D）问题的可 行解，且cx* = y*b ，则 x*、y*分别是（P）问题和（D） 问题的最优解. * cx y b 证明:对于（P）问题的任意一个可行解x，必有 但 cx* = y*b ，故对（P）问题的所有可行，有 cx y*b cx*