同理B得2 ,，B3 对总目标的权值分别为： 0.246, 0.456,
决策层对总目标的权向量为：
0.3, 0.246 , 0.456
又 CR (0.263 0.003 0.475 0.001
0.055 0 0.099 0.005 0.110 0)
/ 0.58 0.015 0.1
建立选择旅游地层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、
黄山、桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
2 构造成对比较矩阵
设某层有 个因n 素，
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1)建模
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
（2）构造成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
b1m
a jb1 j b1 j 1
B2
b21 b22 b2m
m
a jb2 j b2
j 1
m
Bn
bn1 bn2 bnm
a jbnj bn j 1
层次总排序的一致性检验
设 层B B1对, B上2层,( ,层B)n中因素
A
的层次单排序一致性指标为
，随机一C致I 性j 指为
则层次总排序的一致性比率为：
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标函 数
45
Min Z
cij xij
j 1 i 1
约束 每人最多入选泳姿之一
X x1, x2 , , xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 个因素对上 n
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 a表ij 示第 个因i 素相对于第 个因素的j比较结果，则
aij
1 a ji
一般，当一致性比率
CR CI 0.1 时，认为 RI
A
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对
A
加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 进行检验A的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，
2 3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1 B2 3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
1 1
3
3 3 1
1 3 4
B4
1 3
1
1
1 4
1
1
1 B5 1
1 1
1
4 1
4
4 4 1
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
即 B层第 个i因素对
总目标的权值为：
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2m
m
a jbij j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A
A1, A2 , , Am
B层的层次
B
a1, a2 , , am
总排序
m
B1
b11 b12
1
w
2
A w1
wn w1
w1 w2 1
wn
w2
w1
wn w2
wn
1
即， aik akj aij i, j 1,2, , n
但在例2的成对比较矩阵中，
在正互反矩阵
中，A若
a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
aik则称akj 为一a致ij阵。 A
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i, j 1,2,
,n
2. A的各行成比例，则 rankA 1
3. A的最大特征根（值）为 λ n, 其余n-1个
特征根均等于 0。
4. A的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量n。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
大特征根 的归n 一化特征向量
k 3.005 3.002 3 3.009 3
CI k 0.003 0.001 0 0.005 0 RI k 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
计算 CR可k知
B1, B2 , B3 , B通4 过, B一5致性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
1
1
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
由上表，可得成对比较矩阵
1
2
1 2 1
4 7
3 5
3
5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
故，层次总排序通过一致性检验。
0.3, 0.246 , 0.456 可作为最后的决策依据。
即各方案的权重排序为
B3 B1 B2
又 B1, B2 , B3 分别表示苏杭、黄山、桂林，
故最后的决策应为去桂林。
模型Ⅱ：线性规划
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
数学建模常用模型
模型Ⅰ：层次分析法
问题1 选择旅游地
现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏杭、黄山、 桂林，下面将作出旅游地的选择。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
定义随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵
A1, A2 , , A500
则可得一致性指标
CI1, CI 2 , , CI500
RI
CI1 CI 2
CI 500
1 2
500
500
n
500
n 1
随机一致性指标 RI 的数值：
n 12 3
4
5
6
7
8
9
10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 ✓递阶层次结构的建立 ✓建立两两比较的判断矩阵 ✓层次单排序 ✓层次综合排序
层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下
面为方案层，中间是准则层或指标层。 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因
素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结 构，否则称为不完全层次结构。
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
CR a1CI1 a2CI 2 amCI m a1RI1 a2 RI 2 am RI m
CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重
新考虑模型或重新构造那些一致性比率
较大的成对比较矩阵。
CR
3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各n块的重量
分别记为： w1, w2 , , wn
则可得成对比较矩阵
由右面矩阵可以看出，
wi wi wk
wj
wk w j
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如 下：
Z A1 A2 A3 A4 A5
A1
1 1/2 4
3
3
A2
2 1 7 55
A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3
A4 1/3 1/5 2
1
1
A5 1/3 1/5 3
w1, w2 , , wn
wi 表示下层第 个i因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
n