第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,} 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。

6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ= 8、 设128{,,,}A a a a =由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =，{3,6,9,12,}D =，{1,3,5,7,}E = {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂- (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。

(1) 若a A ∈，则a A B ∈⋃答：正确，根据集合并的定义 (2) 若a A ∈，则a A B ∈⋂答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须a 同时属于A 和B (3) 若a A B ∈⋂，则a B ∈ 答：正确(4) 若A B ⊆，则A B B ⋂= 答：错误(5) 若A B ⊆，则A B A ⋂= 答：正确(6) 若a A ∉，则a A B ∉⋃ 答：错误(7) 若a A ∉，则a A B ∉⋂ 答：正确13、 设,,A B C 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由(1) 若A B A C ⋂=⋂，则B C =答：不正确，反例，设A φ=，则不论,B C 是什么集合，都有A B A C φ⋂=⋂=，但显然,B C 不一定相等。

(2) 当且仅当A B B ⋃=，有A B ⊆；答：正确，证明如下：若A B B ⋃=，则对a A ∀∈，有a A B B ∈⋃=，则有a B ∈，因此有A B ⊆。

反之，若A B ⊆，则A B B ⋃=显然成立。

(3) 当且仅当A B A ⋂=，有A B ⊆答：正确，证明如下：若A B A ⋂=，则对a A ∀∈，因此a A B ∈⋂，则a B ∈，则有A B ⊆。

若A B ⊆，则a A ∀∈，有a B ∈，因此由a A ∈，可以得出a A B ∈⋂，因此A A B ⊆⋂，又A B A ⋂⊆，有A B A ⋂=。

(4) 当且仅当A C ⊆，有()A B C φ⋂-=答：不正确，因为()A B C A B C '⋂-=⋂⋂，因此不一定需要满足A C ⊆，而若A B φ⋂=也可以满足。

例如：{,,}A a b c =，{,}B d e =，{,}C a b =，()A B C φ⋂-=成立，而A C ⊆不成立。

(5) 当且仅当B C ⊆，有()A B C A -⋃=答：不正确，因为若B C ⊆，有()A B C A -⋃=成立，但是反之不成立，反例如下:{1,2,3,4,5}A =，{1,6}B =，{1,2}C =，而{2,3,4,5}A B -=，(){1,2,3,4,5}A B C -⋃=，但是B C ⊆不成立。

14、 设,,,A B C D 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。

(1) 若,A B C D ⊆⊆，则()A C B D ⋃⊆⋃答：正确，证明：对a A C ∀∈⋃，则a A ∈或a C ∈，因为,A B C D ⊆⊆，因此a B ∈或a D ∈，因此a B D ∈⋃，即()A C B D ⋃⊆⋃成立。

(2) 若,A B C D ⊆⊆，则()A C B D ⋂⊆⋂ 答：正确(3)若A B ⊂，C D ⊂，则()A C B D ⋃⊂⋃ 答：正确(4) 若,A B C D ⊂⊂，则()A C B D ⋂⊂⋂答：不正确。

例如若,A B C D ⊂⊂，但是A C φ⋂=，B D φ⋂=，则()A C B D φφ=⋂⊆⋂=。

15、 设,A B 是两个集合，问：(1)如果A B B -=，那么A 和B 有什么关系？答：因为A B B -=，而A B A B B '-=⋂=，即对a B ∀∈有,a A a B '∈∈，因此A B φ==。

(2) 如果A B B A -=-，那么A 和B 有什么关系？答：充要条件是A B =。

证明：因为A B B A -=-的()()A B A B A A -⋃=-⋃，从而有A A B =⋃，即A B ⊆，同理可证明B A ⊆，因此A B =。

16、 设,A B 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。

(1) 222A B A B ⋃=⋃答：不正确。

例如{,}A a b =，{,}B b c =，则{,,}A B a b c ⋃=2{,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}A B a b c a b a c b c a b c φ⋃= 2{,{},{},{,}}A a b a b φ=，2{,{},{},{,}}B b c b c φ=显然222A B A B ⋃=⋃不成立。