半导体物理学 • 2.1设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和 价带极大值附近能量Ev(k)分别为
h2 k12 3h2 k 2 h2 k 2 h2 (k k1 )2 Ec k 和Ev k 3m0 m0 6m0 m0
M0为电子惯性质量，k1=1/2a，a=0.31nm，试求： （1）禁带宽度； （2）导带底电子有效质量； （3）价带顶电子有效质量； （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化；
考虑自旋为：
V
2
V 4
2 3
8m m m
x y z
1 2
E dE
1 2
V 2
2 3
8m m m
x y z
1 2
E dE
1 2
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半导体物理学 2.9 对n型Si，用回旋共振方法测电子的有效质量。当B分别 沿〔111]、〔110]、〔100〕时，可以观测到几个吸收峰？ 各对应多大的回旋共振有效质量。
h2 2 ik r (r )[ V (r ) E (k )]e uk (r )dr 0 2m k x * k h2 2 ik r (r )[ 2m V (r ) E (k )]e k x uk (r )dr * k
e
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（1）禁带宽度
dEc (k ) 2h2 k 2h 2 (k k1 ) 8h 2 k 6h 2 k1 令 0 dk 3m0 m0 3m0 3 得k= k1 4 h 2 k12 3 故导带底能量为 Ec ( k ) 4 4m0
dEv (k ) 6h 2 k 令 0 dk m0 h 2 k12 得k=0 故导带底能量为 E v (0) 6m0
e 1 k N1a1为2的整数倍 k N1a1 kN1 2 l1 2 k l1 N1
ik N1a1
2 2 得k n n (n 0. 1,2,...) N1a1 L 此时出现不连续
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2.12 什么是布里渊区？ 能带中的电子可以用波矢k来描述其状 态，即电子能量和速度都是k的函数，晶体 中电子所有的运动状态都可以由k空间来描 述，这个区域叫布里渊区。在波矢空间中取 一倒易阵点为原点，所做所有倒易点阵矢量 的垂直平分面，这些面将波矢空间划分为一 系列的区域，其中离原点最近的叫第一布里 渊区。
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2.5 对于下述两种晶体，求能量E到E＋dE间得状态数。 2 2 2 2 2 E kx , k y kx k y 2 k kx k y 2m 2 2 2 2 2 2 Ek kx ky kz 2mx 2m y 2mz
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kz
2


解： （1）在二维k空间中每个k在k空间所占的体积为(2)2/LxLy 2k 2 E kx , k y 2m 2

上式对k求导得 ，即
dE kdk m
kdk mdE/ 2
在二维平面内，kx,ky等能面是一个圆，面积微元为2kdk 所以状态数共为 2kdk S m dE 2 2 2 2 S m S m S 2 dE dE 2 2 考虑自旋为： 2
（2）导带底电子有效质量
3m0 h2 h2 * mnc 2 2 3.42 1031 kg d Ec (k ) / dk 2 8h / 3m0 8
（3）价带顶电子有效质量
m0 h2 h2 * mnv 2 1.52 1031 kg d Ev (k ) / dk 2 6h2 / m0 6
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2.10 叙述半导体中电子运动的特点。比较与 真空中有什么不同？
半导体中电子的运动特点：
1.电子在以晶格常数为周期的周期势场中运动 2.波函数是布洛赫波的形式 3.能量状态呈能带状 4.状态k取值不再连续变化，受到了周期性边界条件的限制
真空电子的运动特点：
1.电子自由运动 2.具有波粒二象性 3.电子在真空中的波矢量k是连续的 4.能谱连续
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半导体物理学 2.11电子在真空中的波矢量k是连续的，晶体中为什么是分立的？ 固体中原子排列周期性的特点，使得半导体中每个原子周围的 势场u(r) ，具有原子晶格的周期性。 例如一个一维有限晶体，a1方向有N1个原胞，周期性边界条件 要求：(r)= (r+ N1a1) ik ( r N1a1 ) ik r e uk (r N1a1 ) e uk (r )
h2 k12 3 h2 禁带宽度 Eg Ec ( k1 ) Ev (0) 4 12m0 48m0 a 2
(6.625 1034 )2 J 1.045 1019 J 0.65eV 48 9.108 1031 (0.31109 )2
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半导体物理学 • 量子力学中，电子的速度算符为：
P h v m im h * 平均速度：v k (r ) k (r )dr im h 2 哈密顿方程： V (r )] k (r ) E (k ) k (r ) [ m ik r 布洛赫波： k (r ) e uk (r ) 对哈密顿方程 取微商： kx k (r ) E (k ) h2 2 k (r ) [ V (r ) E (k )] 0 k x 2m k x
1 2
2m y E b 2
1 2
2mz E c 2
1 2
1 4 4 1 V abc 3 8mx m y mz 2 E 2 3 3 体积微元为 3
1 3 dV 4 8mx m y mz 2 E 2 dE dV dE 3 dE 3 2 状态数为： 1 1 1 3 1 dV V 4 V 8mx m y mz 2 E 2 dE 2 3 8mx m y mz 2 E 2 dE 3 3 3 2 4 2 2 3 1
ik r
h2 2 * uk (r )[ V (r ) E (k )]* k (r )dr 0 k x 2m
E (k ) h 2 * k (r ) k (r )dr 0 k x im x h2 1 E (k ) 1 E (k ) 1 E (k ) * vx k (r ) k (r )dr , vy , vz im x h k x h k y h k z
（4）准动量变化
3 3 3h hk h( k1 0) hk1 8.01 1025 N s 4 4 8a
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半导体物理学 2.2 已知一维晶体的电子能带可写成 • E(k)=E0[0.4+0.1cos(2ka)-0.5cos(ka)] • 其中E0=6eV。晶格常数a＝3x10-10m • (1)画出E-k关系曲线。 • (2)求能带的宽度。 • (3)求能带底部和顶部的有效质量。
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（2）在三维k空间中每个k在k空间所占的体积为： (2)3/V E（k）关系为椭球。 2 2 2 ky kx kz 椭球标准方程为： 2 2 1 2 a b c 对比有椭球的三个半径为：
2m x E a 2 a、b、c为椭球的三个半径，椭球的体积为
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h2 h2 2 ik r k (r ) [ V (r ) E (k )]e uk (r ) 0 im x 2m k x
第二项等于零，用 k (r )乘等式两边，并对电子 * 坐标积分， E (k ) h 2 * k (r ) k (r )dr k x im x
k (r ) ik r ix k (r ) e uk (r ) k x k x
[ix k (r )] ix k (r ) 2i k (r ) x
2 2
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E (k ) h2 2 k (r ) ix[ V (r ) E (k )] k (r ) k x 2m