V

Ic Iv Id 0
物理意义： 穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性 原理。
将它应用于只有传导电流的回路中 , 得知节点处传导电流的代
数和为零 ( 流出的电流取正号 , 流入取负号 ) 。这就是基尔霍夫 (G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
B E t
法拉第电磁感应定律微分形式
说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时 间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路 以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势
变化的磁场 能产生电场
物理意义： 1 、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为 dB dt ，即磁场随时间变化的 地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。
t
全电流定律 H J Jd 由 D D H J Jd t t
变化的电场 能产生磁场
推广的安培环 路定理 全电流定律
D J全 J J d J t
积分形式：
全电流

C
H dl J 全
S
物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁
E0 k x

例 5 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与
U的关系。
图 平板电容器
解：
D E I I d AJ d A A t t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从 而得
I
A U
d t
U I C t
E H E t H E t ( H ) 0 ( E )
麦克斯韦方程 组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。
四、媒质的分类
若媒质参数与位置无关 , 称为均匀 ( 质; ;
homogeneous
法拉第电磁感应定律和全电流定律
5 .1 .1 法拉第电磁感应定律 (Faraday’s Law of Induction) 静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场) 特性：电场和磁场相互独立，互不影响。
时变场:场的大小随时间发生改变。
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整 体，称为电磁场。 一、电磁感应现象与楞次定律
5 .2 .2 位移电流和全电流定律 电流连续性方程 dt 时间内，V内流出S的电荷量为 dq 电荷守恒定律：dt 时间内，V内电荷改 变量为 dq 由电流强度定义： dq I dt J (r ) ds dt S dq d (r )dV J (r ) ds V dt s dt
时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变
化的，因此称时变电磁场为电磁波。
建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电
场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特 殊情况可以通过直接求解波动方程求解。
5.3.3 动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potential 一、定义
sin( z ) cos( t k x x) d E0 ex cos( z )sin( t k x x) d d E0 B H ex cos( z ) sin( t k x x) 0 d 0 d E0 k x ez sin( z ) cos( t k x x) 0 d B ez
时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的
函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间 位置的函数。
由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量
位和动态矢量位也是一个统一的整体。 二、洛伦兹规范条件 为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对 应关系，须引入额外的限定条件——规范条件。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是
有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成
电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
二、麦克斯韦方程组的积分形式
D C H dl S ( J t ) dS E dl B dS S t C B dS 0 S D dS dV Q V S
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式

J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
（推广的安培环路定律）
（法拉第电磁感应定律） （磁通连续性定律） （高斯定律）
物理意义： 时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁 场是有旋有散场。
例题
例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想 导体板，在极板间存在时变电磁场，其 电场强度为
z d
E ey E0 sin( z ) cos( t k x x) d
求：(1)该时变场相伴的磁场强度 H ；

y
解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式
B E ex ey ez t E y E y B ez ex t x y z x z Ex E y Ez B ez E0 k x sin( z )sin( t k x x) t d E0 ex cos( z ) cos( t k x x) d d B B dt t
变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁
场相互依存，构成统一的电磁场。
◇ห้องสมุดไป่ตู้
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定
场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。
电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
§5 .1
Time-varying Electromagnetic Fields
场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面 上的全电流。
D dS＝ ( J ) dS S t
全电流连续性原理
Jt J c J v J d
( Jc Jv J d ) 0
对任意封闭面S有

S
( J c J v J d ) ds ( J c J v J d )dv 0
第五章
时变电磁场
Electromagnetic field equations
§5.1 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §5.2 麦克斯韦方程组 §5.3 电磁场的边界条件 §5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量 §5.5 时谐电磁场
时变电磁场
静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开
讨论。
◇
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；
得到了两个相互矛盾的结果。 在 H
J 的右端加一修正项 J d 则
H J J d
J Jd 0
D J d J Jd t t D
: J d 是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称 为位移电流密度
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
A t
洛伦兹规范条件
三、动态位满足的方程
A E ( ) t
2
( A) t
A
E H J t 1 A J E 1 t H A A 2 ( A) A J ( ) t t 2 A 2 A 2 J ( A ) t t
B 0 B A
B E ( A) E t t A (E ) 0 t A A 令： ( E ) ， E ( ) t t A E ( ) A(r , t ) : 动态矢量位 t 故： ( r , t ) : 动态标量位 B A
电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发
生变化时，回路中会出现感应电流。
楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身
的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。
二、法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变
时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成 d m 正比关系。数学表示：
dt
说明：“ - ”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻 止回路磁通量的改变。