“2a b+≤”教学设计 一． 教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要2a b+≤的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从2a b +≤2a b+≤的应用，而且在基本不等式2a b+≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．二．学情分析学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．三．目标分析教学目标：1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．教学重难点：2a b +≤的证明过程．2a b+≤等号成立条件． 四．教学策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法: 自主学习与合作讨论相结合教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学五．教学过程Ⅰ．创设情境 引入课题填写下表，【问题12的大小关系，从中你发现了什么结论？ 猜想得到结论：一般的，如果 【问题2】你能给出它的证明吗？ 证法1 用比较法证明：ab ba -+2作差 =()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+b a b a 22122 变形=()0212≥-b a 判断符号当且仅当b a =，即b a =时取""= 取等条件证法2 用分析法证明：要证2a b+≥ (1)只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证 a b +-≥0 （3）要证（3），只要证 20≥ （4）显然，（4）是成立的．当且仅当a b =时，（4）中的等号成立．设计意图:通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．师归纳：（1）如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. Ⅱ．自主探究 深化认识1.认识基本不等式的几何背景【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？ 探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Rt ACD ∆∽Rt DCB ∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2， 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 设计意图:通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．2.拓广探究（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 1． 探究图形中的不等关系【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系?将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中四个全等的直角三角形．设直角三角形 的两条直角边长为,a b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积．)【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a 、b 的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=． 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 师归纳：（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果0,0a b >>, 对于不等式22()2a b ab +≥，我们用分别a 、b 代替,a b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面．设计意图:通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化． Ⅲ．实际运用 强化新知【例题】（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）m由2x yxy +≥， 可得 2100x y +≥2（xy +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m ．(2)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为xy2m ，由189,22x y xy +≤==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m ．设计意图:让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．Ⅳ．回顾反思 拓展延伸1.课堂小结组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实 现对基本不等式认识的再次深化．①体会从特殊到一般的研究方法； ②体会数形结合的数学思想； ③体会归纳、猜想、证明的思维方法；④掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题．设计意图:小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对 探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．2.作业布置必做题:P.113—1、2、3、4 选做题：1.已知,x y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么和x y +有最小值2P ，此时x y =；（2）如果和x y +是定值S ，那么积xy 有最大值24S ，此时x y =．2.当a>0,b>0时不等式2a bab +≤成立，若0(1,2,3,,)i a i n >=，则有不等式————————————————————————————成立．研究性作业： （1）设00a b ＞，＞，称2aba b+为,a b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且,AC a CB b ==，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，连结,AD BD ,则图中线段 的长度是,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数．（2）已知,a b 都是正数，证明：2221122a b a b ab a b++≤≤≤+． 设计意图:分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能．六．教学反思新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．。