st .
2 x1 x2 5
x1 , x2 0 x1 , x2为 整 数
松弛 问题
3 x1 2 x2 3
st
.52x1x14
x x
2 2
10 5
x1 , x2 0
解：（1）求解其松弛问题的最优解。用单纯形法 进行求解，得到最优单纯形表如下（x3,x4,x5为松 弛变量）：
cj
B1
B2
B3
B4
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
350
400
2 300
5 150
200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。 现要决定建设工厂A3还是A4,才能使今后每年的总费用最少。
解：设xij表示从Ai厂运往Bj地的物资数量，再设：
j 1,2,3,4,5
则该问题的数学模型为：
max z 150x1 210x2 60x3 80x4 180x5
210x1 300x2 100x3 130x4 260x5 600
st
.
x1 x3
x2 x4
x3 1
1
x5 xj
x1 0或1，j
1,2,3,4,5
Hale Waihona Puke 例3（混合整数规划） ：工厂A1和A2生产两种物资。由于该种物资供不 应求，需要再建立一家年生产能力为200kt的工厂，相应的建厂方案有 A3和A4两个。这种物资的需求地有B1,B2,B3,B4四个。各工程年生产能 力、各地需求量、各厂至各需求地的单位物资运费见下表：
j1
aij x j (或 ， ）bi
0 ( j 1,, n)
xj
(i
1,,
m
1、整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解；
2、若目标函数求极大（小），整数规划问题的最优解对 应的目标函数值一定小（大）于等于其松弛问题最优解对 应的目标函数值。
3、不能把其松弛问题的最优解取整作为该整数规划问题 的最优解。
max z x1 4x2
st
.
2 x1 3 x2 x1 2 x2 8
3
x1 , x2 0且取整数
第二节
求解纯整数规划的割平面法
一、割平面法的思路
1、求出整数规划问题的松弛问题的最优解。 2、若得到最优解满足整数要求，则该最优解就
是整数规划问题的最优解； 若最优解不满足整数要求，则增加一个约
第五章
整数规划
主要内容：
第一节 整数规划的数学模型及解的特点 第二节 解纯整数规划的割平面法 第三节 分支定界法 第四节 0-1型整数规划 第五节 指派问题
第一节
整数规划的数学模型及解的特点
一、整数规划问题举例
例1（纯整数规划） ：某个中型百货商场对售货人员（周工
资200元）的需求经统计如下表：
三、整数规划问题的解的特点
整数规划问题
整数规划问题的松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j
st
.
n
j 1
xj
aij x j 0(
j1
(或 ， ）bi j 1,, n)
(
n个 变 量 中 部 分 或 全 部
i 为整
1,, 数
m
) st
.
n
j 1
xj
n
max( 或 min) z c j
束条件（建立割平面方程），使得最优解不 满足该约束条件，而所有的整数规划的可行 解仍满足该约束条件。 3、重新求解增加约束条件后的最优解，回到2。
二、割平面法计算步骤
例：用割平面法求解纯整数规划
max z 3x1 x2
max z 3x1 x2
3 x1 2 x2 3
5 x1 4 x2 10
（1）项目1、项目2和项目3至少应有一项选择； （2）项目3和项目4最多只能选一项； （3）项目5选中的前提是项目1必须选中。 问如何选择一个最好的投资方案使得总的投资收益最大。
解：每一个投资项目都有被选择和不被选择两种 可能，因此令：
1 x j 0
(对 项 目j投 资 ） （ 对 项 目j不 投 资 ）
3
-1
0
0
0
CB
xB
b
x1
x2
n
max( 或 min) z c j x j j1
st
.
n
j 1
xj
aij x j 0(
(或 ， j 1,, n)
）bi
(i 1,, m)
n个 变 量 中 部 分 或 全 部 为整 数
n个变量全部为整数 n个变量不全部为整数 n个变量全部为0或1
— 纯整数规划
— 混合整数规划 — 0 1整数规划
st
.
x11 x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
400 600
x31 x32 x33 x34 200 y
x41 x42 x43 x44 200(1 y)
xij 0, i y 0或1
1,2,3,4;
j
1,2,3,4
二、整数规划问题的数学模型
x4 x5 x6 x7 x1 12 x5 x6 x7 x1 x2 15 x6 x7 x1 x2 x3 12 x7 x1 x2 x3 x4 14 x1 x2 x3 x4 x5 16 x2 x3 x4 x5 x6 18 x3 x4 x5 x6 x7 19 x j （0 j 1,2,,7)且取整数
星期 一 二 三 四 五 六 七 人数 12 15 12 14 16 18 19
为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作5天，休息2天 （这两天是连续的）。问应如何安排销售人员的工作时间，使 得所配售货人员的总费用最小？
解：设xj为在星期j开始上班的销售人员数目， 则该问题的数学模型为：
7
min z 200 x j j1
例2（0-1整数规划） ：某公司有5个投资项目被列入投资计划，
各项目需要的投资额和期望的收益见下表：
项目 1 2 3 4 5
投资额/万元 210 300 100 130 260
期望收益/万元 150 210 60 80 180
已知该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资 受到以下约束：
1 (建A3厂）
y
则该问题的数学模型为：
0
（ 建A4厂 ）
44
min z
cij xij 1200 y 1500(1 y)
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12 x13
x22 x23
x32 x33
x42 x43
400 300
x14 x24 x34 x44 150