三年级上册倍的认识-倍的认识反思倍的认识反思基于乘法意义的“倍”的认识教学——人教版教材“倍的认识”教学思考与实践浙江省嘉兴市南湖区教研室费岭峰一、“倍”是什么？“倍”产生于量与量之间的比较，其实质是除法中“等分”意义的扩展。
与分数一样，其同样是基于量的“等分”基础上的一种数学表达，是数学模型化思想的典型体现。
如“甲是乙的3倍”，既可以理解为“红气球的个数是蓝气球个数的3倍”；也可以理解为“第二行的圆片数是第一行圆片数的3倍”；当然还可以理解为“甲车运的货物重量是乙车运的货物重量的3倍”、“小红做作业用的时间是小明的3倍”等等。
这里的“蓝气球的个数”、“第一行的圆片数”、“乙车运货量”、“小明的作业时间”等均可以理解为单位“1”，“3”即是以单位“1”为标准的“3份”，其3倍关系可以用以下图式模型来表示：甲量：乙量：1 倍量3倍量二、学生对“倍”的认识基础因为要备“倍的认识”一课，笔者翻阅了一些使用较广的新课程实验教材后发现，北师大版、苏教版、浙教版等课标实验教材，均是在学生认识了“除法”之后教学“倍的认识”这节内容的，唯独人教版教材在学生学习“除法”知识前编排了这节课。
那么，学生对“倍”的认识基础是怎样的呢？笔者对一所农村乡镇中心小学和一所中心城区实验小学各一个班的学生进行了课前调查。
调查内容如下：问题1：第一行有：□□；第二行有：□□□□□□；问第二行正方形的个数是第一行的倍。
问题2：你知道“3的2倍”是什么意思吗？前测结果如下：表一：农村乡镇中心小学学生调查汇总表表二：中心城区实验小学学生调查汇总表从调查情况来看，学生对“倍”的概念认识，农村学校的学生基本没有，中心城区实验小学的学生也比较弱，只有近1/3的学生有“倍”的直观经验，意义则基本不知道。
事实上，如同“倍”这样学生认识基础相当薄弱的知识点，在小学数学知识内容中不太多。
三、基于乘法意义的“倍”的认识教学实践“倍的认识”这节内容，人教版教材安排在学生学习了表内乘法“7的乘法口诀”之后，“求一个数的几倍”解决问题之前，很明显，其教学基础是乘法意义，目的是为“求一个数的几倍”的解决问题教学服务的。
教材例题如右下图：例2以三个小朋友用小棒摆正方形的情况，根据2个4根、3个4根与1个4根间的联系，引出“一个数的几倍的含义”，这是典型的借助乘法意义来理解“倍”概念的方式；例3引导学生用摆小圆片的形式，建立“求一个数的几倍是多少”的计算思路，实质是为解决问题构建“思维模式”。
与人教版教材相配套的《教师用书》提出相应的教学建议：一要用现实生活中的实例，让学生感到“一个数的几倍”的存在，并体验到它的含义与作用，真正理解“一个数的几倍”具体描述什么内容；二要反复用学具操作，在脑海里建立“第一行有几个，第二行有多少个同样多的几个，就是几的多少倍”的表象，然后得出用乘法计算的结论。
意图很清楚，均在为解决“求一个数的几倍是多少”的问题教学服务。
从教材编写的内容和教师用书的教学建议来看，人教版教材因为在教学“倍”的概念之前，还没有教学“除法”的相关内容，因此无法借助除法意义来理解“倍”的等分含义，借助乘法意义和学生已有的生活经验来理解“倍”。
通过直观操作和图示分析完成“倍”的概念的建构，成了唯一途径。
于是在设计这节内容时，我们确定了以下教学目标：结合具体情境，使学生感受到“倍”作为一个表示两量之间关系的数学表达方式的存在。
借助动手操作、解决问题的过程，使学生经历“倍”的意义建构过程，初步理解“一个数的几倍”表示“几个这个数”的含义。
借助对“倍”的意义理解的深入，帮助学生建构“倍”的数学模型，体会“倍”的性质，并能利用“倍”的模型解释两个量之间的关系。
教学过程设计及实践如下：教学导入：借助主题情境图，以乘法背景引出“倍”呈现情境图，引导学生结合情境解读信息，并思考：小红摆1个正方形，用了4根小棒，那么小丁摆3个这样的正方形，该用几根小棒？媒体呈现3个分开摆的正方形，确认需要12根小棒：这样摆3个正方形，为什么是用了12根小棒，你是怎样想的？引出“3个4根”，揭示：3个4根，还可以说成4的3倍主体探究：借助操作演示和直观图例，帮助学生建构“倍”的数学意义1．在“1倍量不变，几倍量变化”的情境中初步理解“倍”的意义。
“2的4倍”的认识。
在黑板上用圆片直接呈现：第一行：○○第二行：○○○○○○○○请学生说说这两行圆片数量的关系。
当有学生说到“倍”时，教师顺势板书问题：“第二行的个数是第一行个数的倍”。
先由学生说出结果，然后解释。
重点抓住“3倍”和“4倍”两种结果引导，关注“2个圆片”的应用。
生1：因为第二行比第一行多6个，6个中有3个2，所以是3倍。
请这位学生结合圆片图介绍。
你为什么要2个2个去数呢？生1：因为第一行有2个，所以我就2个2个去数了。
师：他告诉我们，这里第一行的个数是个标准。
感谢他。
生2：因为第一行有2个，把它作为标准，去数第二行的个数，数出了4个2个。
教师请这位学生把这种想法在图中表示出来，并请全班一起数。
这位学生先在第一行上圈了一个圈，再把第二行上的圆片2个2个地圈起来。
学生跟着一起数：一个2个，2个2个，3个2个，4个2个。
生2：第二行有4个2个，所以第二行个数是第一行的4倍。
师引导确认：像这样第一行2个，第二行中有4个2个，我们就可以说成“第二行的个数是第一行个数的4倍”。
“2的5倍”的认识。
情境变化：第一行圆片数不变，在第二行再摆上2个圆片，并问：“现在第二行的个数是第一行个数的几倍？”“2的6倍”的认识。
情境再变：第一行圆片数不变，在第二行中又摆上2个圆片，再问：“现在第二行的个数是第一行个数的几倍？”“2的几倍”的整体认识。
媒体把刚才的3组材料依次呈现在屏幕上，请学生整理思考：我们来回顾一下，这里第二行个数是第一行个数的4倍、5倍、6倍分别是怎样来的？又分别表示什么意思呢？重点抓住“几个2”，就是“2的几倍”。
2．在“1倍量变，几倍量不变”的情境中体验“倍”。
“3的4倍”的认识。
顺接着第一组材料，第二行12个圆片数不变，在第一行上摆上1个，情境变成：提出问题：现在第二行的个数是第一行个数的几倍呢？请学生解释“4倍”。
生：先圈第一行，有3个。
以3个为标准，去数第二行的个数，一个3个，2个3个，3个3个，4个3个。
共有4个3个，所以第二行的个数是第一行个数的4倍。
教师结合学生的回答板书：4个3，3的4倍。
“4的3倍”的认识。
情境再变：第二行个数不变，在第一行上再摆上1个圆片，问：“现在第二行的个数又是第一行个数的几倍？”情境变成：第一行：○○○○第二行：○○○○○○○○○○○○先请学生同桌交流“为什么是3倍”，然后作反馈交流。
生：第一行有4个。
以4个为标准，去数第二行的个数，第二行中有3个4个，所以第二行的个数是第一行个数的3倍。
结合学生的回答板书：3个4个，4的3倍。
“几的几倍”的整体认识。
整体呈现讨论刚才讨论的3组材料，重点引导学生关注：以第一行的圆片个数为标准去数第二行的圆片个数，第二行中有几个标准就是第一行的几倍。
练习：看一看，圈一圈，填一填第一行：○○○○○○第二行：○○○○○○○○○○○○ 第二行圆片个数是第一行的倍第一行：○○○○○○○○○○○○ 第二行：○○○○○○○○○○○○ 第二行圆片个数是第一行的倍第一行：○○○第二行：○○○○○○○○○○○○学生先独立完成，再说理。
教学延伸：借助练习作业，初步建构“倍“的模型，感悟“倍”的本质练习：圈一圈，想一想，填一填第一组：第一行：★第二行：☆☆☆☆问：第二行的☆数是第一行的★数倍。
第二组：第一行：★★第二行：☆☆☆☆☆☆☆☆问：第二行的☆数是第一行的★数倍。
第二组：第一行：★★★第二行：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆问：第二行的☆数是第一行的★数倍。
重点引导学生解释“为什么都是‘4倍’”。
师：这里第一行的个数、第二行的个数都不一样，怎么结果却都是4倍呢？生1：第1题中，第一行1个，第二行得1个1个数，正好是4个1，所以是4倍；第2题，第一行2个，第二行得2个2个数，正好是4个2，所以也是4倍；第3题，第一行3个，第二行得3个3个数，正好是4个3，所以也是4倍。
生2：第二行都是4个几。
师：你的意思是说，你们数的时候，第二行总是4个第一行的个数。
所以第二行的个数都是第一行个数的4倍。
师：照这样想，第一行1个，那么第二行就是——生：4个1。
师：也就是1的4倍。
第一行5个，那么第二行就是——生：4个5。
师：也就是——生：5的4倍。
师：第一行10个，那么第二行就是——生：4个10。
师：也就是——生：10的4倍。
……师小结：原来这里第二行的个数是第一行个数的4倍是指——第一行摆几个，第二行摆的个数始终是4个几个。
四、实践后的再思考1．基于乘法意义的“倍”的认识教学具有可行性。
因为有乘法意义作背景，整节课的教学中，突出“倍”概念中“几个几”的意义理解，学生从直观材料的观察到“倍”的模型的提炼，也显得比较自然而有效。
教学中，学生较好地建构了“倍”的概念，也形成了“倍”概念中“几个几”的概念表象。
笔者对所教班级学生进行了课后检测。
表三：中心城区实验小学学生后测情况汇总调查结果表明，通过以上的教学实施，学生对“倍”的概念基本掌握，且有好多学生在表达“3的2倍”时，能够正确画出“图示”。
这说明其对“3的2倍”的模型基本建立。
图示1图示2图示32．基于乘法意义的“倍”的认识教学，同样是一个遵循学生逻辑认识基础上、有效引导学生理解“倍”的本质内涵的教学过程。
“倍”的本质含义虽然是“‘几倍量’中包含几个‘一倍量’”，但如同除法是乘法的逆运算一样，由于除法是基于乘法而产生的，两者存在着密不可分的关系，所以从乘法意义出发去引导学生理解“倍”的含义，也有其可行性。
那么，基于乘法意义的“倍”的认识教学，以怎样的教学层次推进比较符合学生的认识逻辑呢？以上实践从三个层次的教学推进作了很好的演绎，现简要作一分析：第一层次，“一倍量”不变，“几倍量”变。
这是顺应乘法意义认识过程的。
因为乘法是相同加数累加的简便表达，于是在“倍”的认识中，“一倍量”的累加，从认识上来说，还是比较符合学生乘法学习背景的，有利于学生建立起初步的“倍”的概念。
以第一行“2个”为标准，2个2个地数，第二行有“4个2个”，所以是“2个的4倍”；当第二行增加一个“2个”，则变成了“5个2个”，所以是“2个的5倍”。
以此类推，“2个的6倍”、“7倍”的概念建立也就自然不难形成。
第二层次，“几倍量”不变，“一倍量”变。
这实质上已经有“等分”的意思了，因为有了第一层次对“倍”的产生过程的经历和“一倍量”作为标准的理解，此时，引导学生以“一倍量”为标准，去分解“几倍量”同样符合学生的认识逻辑。
因为第一行有3个，现在以第一行的“3个”为标准去数第二行的个数，变成了“4个3个”，所以第二行的个数是第一行个数的“4倍”。