海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2020.04一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 A = { x x > 1}， B = { x x < m}，且 A U B = R ，那么m的值可以是（ A） - 1（B）0（C）1（D）2（2）在等比数列{ a n}中，a1= 8，a4= a3a5，则a7 =（A）1（B）1（C）1（D）1168423（ 3）在极坐标系中，过点(2,) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是2（A）sin= - 2（B）cos= - 2（C）sin= 2（D）cos= 2（4）已知向量a=(1，x)，b=( - 1，x)，若 2a b 与 b垂直，则 a（） 2（）3A B（C）2（ D） 4（ 5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A）4（B）5（C）6（D）7（6）从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A）12（ B） 24（C）36（ D） 48开始n=5， k=0n为偶数是否nnn 3n 1 2k=k+1否n=1是输出 k结束（ 7）已知函数 f ( x)x 2 ax, x1,若 x 1 , x 2 R ,x 1 x 2 ，使得 f ( x 1 )ax 1, x 1,实数 a 的取值范围是（A ） a < 2（B ） a> 2（C ） - 2 < a < 2（D ） a > 2 或 a < - 2（ 8）在正方体 ABCD - A' B 'C ' D '中，若点 P （异于点 B ）A是棱上一点，则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45°的点 P 的个B数为（A ）0（B ）3 A'（C ）4（D ）6B'f ( x 2 ) 成立，则D CD'C'二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在题中横线上 .（ 9）复数a+ 2i在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数 a = .1- i（ 10）过双曲线x 2 -y 2= 1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方9 16程是 .（ 11）若 tan = 1，则 cos(2 + ) =.2（ 12）设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ，其中 Q, P 分别表示需求量和价格，如 果商品需求弹性EQ大于 1（其中EQ= -Q 'P ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的EPEPQ取值范围是 .（ 13）如图，以 ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点C DEAFBD ，交 BC 于点E ， EF ^ AB 于点 F ， AF = 3BF ， BE = 2EC = 2 ，那么DCDE =，CD =.ì1,x ? Q,?（ 14）已知函数 f (x) = í?则（ⅰ） f ( f ( x)) =；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数 f (x)是偶函数；②存在 x i ? R (i 1,2,3) ，使得以点 (x i , f (x i ))( i = 1,2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在 x i ? R (i 1,2,3, 4) ，使得以点 ( x i , f ( x i ))( i = 1,2,3, 4) 为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）在ABC 中，角A，B， C 的对边分别为 a, b, c ，且A，B， C 成等差数列.（Ⅰ）若 b =13 ， a = 3 ，求 c 的值；（Ⅱ）设 t sin Asin C ，求t的最大值.P(16)（本小题满分 14 分）在四棱锥 P - ABCD 中， AB // CD ，AB ^ AD ，AB = 4, AD = 22, CD = 2 ，PA^平面ABCD ， PA = 4 .（Ⅰ）设平面 PAB I 平面 PCD m ，求证：CD // m；（Ⅱ）求证： BD平面PAC；ADCB（Ⅲ）设点 Q 为线段PB上一点，且直线 QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求3PQ的值．PB(17)（本小题满分 13 分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100] ，样本数据分组为 [0,20) ， [20,40) ， [40,60) ， [60,80) ， [80,100] .（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4 名学生，这4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 .（以直方图中新生上学所需时间频率 /组距0.025x0.00650.003O20 4060 80 100时间少于20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率）(18) （本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) e kx ( x2x 1 ) ( k 0) .k（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数 k ，使得函数 f ( x) 的极大值等于 3e 2？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 .(19)（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1 ( 1,0) ，P 为椭圆G的上顶点，且PF1O 45 .lyl2 1（Ⅰ）求椭圆 G 的标准方程；A DO xBC（Ⅱ）已知直线 l ：y kx m 与椭圆G交于 A ，B 两点，直线 l ：y kx m（ m m ）112212与椭圆 G 交于 C ， D 两点，且| AB | | CD |，如图所示 .（ⅰ）证明： m1m20 ;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积 S 的最大值 .(20)（本小题满分 14 分）对于集合M，定义函数f M ( x)1,xM , 对于两个集合M， N，定义集合1,x M .M N { x f M ( x)f N (x)1} .已知 A = {2,4,6,8,10}， B = {1,2,4,8,16} .（Ⅰ）写出 f A (1) 和 f B (1)的值，并用列举法写出集合 A B ；（Ⅱ）用 Card(M) 表示有限集合 M所含元素的个数，求Card ( X A) Card ( X B) 的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（ P， Q），满足P,Q A U B ，且 (P A)(Q B) A B ？海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2020． 04一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题（（（（（（（（号1）2）3）4）5）6）7）8）案答D B A C B D A B二. 填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分.（9）2（10）4x -3 y - 20 = 0（11）4（ 12）(10,20)-5（13）60°313（14）1①③13三 . 解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（ 15）（本小 分 13 分）解：（Ⅰ）因 A, B, C 成等差数列，所以 2B A C . 因 A B C ，所以 B.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分3因 b =13 ， a = 3 ， b 2a 2 c 2 2accosB ，所以 c 2 3c 4 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分所以c 4或 c1（舍去） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）因 AC 2 ，3所以tsin Asin(2A)3sin A(3cos A1sin A)223sin 2 A1 (1 cos2 A ) 42211sin(2 A 6 ) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 2 2 因 0 A ，3 7所以 2 A 66.6 ， t 有最大 3. 所以当 2 A 6 2 ，即 A34⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分(16) （本小 分 14 分）（Ⅰ） 明：因 AB // CD ， CD平面 PAB ， AB平面 PAB ，所以CD// 平面PAB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因CD平面PCD ，平面 PAB I平面PCDm ，所以CD //m .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） 明：因 AP ^ 平面 ABCD ， AB ^ AD ，所以以 A 坐 原点， AB, AD , AP所在的直 分x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系，B(4,0,0) ， P(0,0,4) ， D (0, 22,0) ， C(2, 2 2,0) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分uuur uuur (2, 2 2,0)所以 BD ( 4,2 2,0) ， AC ，uuurzPAP (0,0, 4) ，uuur uuur( 4) 2 2 2 2 2 0 0 0 ， 所以 BD AC uuur uuur BD AP ( 4) 0 2 2 0 0 4 0 .所以 BDAC ， BD AP .ADy因 AP I AC A ， AC平面 PAC ，B CPA 平面 PAC ，x所以 BD 平面 PAC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）解： PQ=（其中 0 ＃1）， Q (x, y, z) ，直 QC 与平面 PAC 所成角PB.uuuruuur 所以 PQ = PB .所以 (x, y, z- 4) = (4,0, -4) .ì 4 ,?x =?所以 í?y =0,即 Q(4 ,0, - 4 + 4) .?+ 4,?z = - 4?uuur- 2,- 2 2, - 4+ 4) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以 CQ = (411分uuur由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量BD ( 4,2 2,0) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分uuur uuur uuur uuur CQ ×BD因 sin = cos < CQ, BD > =uuur uuur ，CQ ×BD所以34(42)83 2 6 (4 2)2.8 ( 4 4)2解得7[0,1] . 12所以PQ =7 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分PB12(17)（本小分 13 分）解：（Ⅰ）由直方可得：20 x0.02520 0.006520 0.003220 1 .所以x= 0.0125.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）新生上学所需不少于 1 小的率：0.0032200.12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 6000.1272，所以 600 名新生中有 72 名学生可以申住宿 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅲ）X 的可能取 0，1，2，3，4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分由直方可知，每位学生上学所需少于20 分的概率1，44C1413P( X0)381 ,P( X1)327 , 42564464P( X 2) C4212227, P( X 3) C343313 3 , 441284464 41 .P( X4)14256所以 X 的分布列：X01234P81272731 2566412864256⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分81272731EX 0 4 11 ）2561234 1 . （或 EX 64128642564所以X的数学期望1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分(18)（本小分 13 分）解：（Ⅰ） f (x) 的定域 R .f '(x) ke kx ( x2x1) e kx (2x1) e kx[ kx2(2 k) x 2] ，k即 f '( x) e kx (kx2)( x 1)(k0) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分令 f '( x) 0 ，解得：x 12或 x.k当 k 2 ， f '(x) 2e2x (x1)20 ，故f ( x)的增区是 (- ? , ? ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当 2 k 0，f ( x) ， f '( x) 随x的化情况如下：x2221( 1, ) ( , )k( , 1)k kf '( x)00f ( x)Z极大]极小Z所以，函数 f ( x) 的 增区 是 (, 2 ) 和 ( 1, ) ， 减区 是 ( 2, 1) .kk⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 k2 ，f ( x) ， f '( x) 随 x 的 化情况如下：x( , 1)1( 1, 2)2 ( 2, )kkkf '( x)f ( x)Z 极大 ]极小 Z所以，函数 f ( x) 的 增区 是 (, 1) 和 ( 2 , ) ， 减区 是 ( 1, 2) .k k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯ 7 分（Ⅱ）当 k = - 1 ， f ( x) 的极大 等于 3e2 .理由如下：当 k2 ， f ( x) 无极大 .当2 k 0 ， f (x) 的极大 f ( 2)e 2( 42 1) ，kk k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分令24 12414e(k2k ) 3e ，即 k 2k3, 解得 k1 或 k3 （舍） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分当 k2 ， f ( x) 的极大 f ( 1)e k .k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因 e ke 2 ， 01 1 ，k2所以e k 1 e 2 .k2因1 e2 3e 2 ，2所以f ( x) 的 极大不 可能等于3e 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分上所述，当k1 ，f (x) 的极大 等于3e 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分(19) （本小 分 13 分）（Ⅰ）解： G 的 准方程x 2y 2 1(a b 0) .a 2b 2因 F 1 (1,0) ， PF 1O 45 ，所以 b = c = 1.所以a 2 =b 2 +c 2 = 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分所以G的准方程x 2y 21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2（Ⅱ） A( x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ， C ( x 3 , y 3 ) ， D (x 4 , y 4 ) .y kx m 1 , 222（ⅰ） 明：由消去 y 得： (1)x4km 1x2 0 .x 2y 2 2k2m 11.28(2 k 2 m 12 1)0 ，x 1x 21 4km 12 ,2k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2m 122x 1 x 21 2k 2.⋯ 5 分所以 | AB | (x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 )21 k2 (x 1 x 2 )2 4x 1x 21 k2 (4km1)24 2m12212k 212k 22 2 1 k 22k 2m12 1 .12k2同理 | CD | 2 2 1 k 22k2m221.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12k27分因 | AB | | CD |,所以2 2 1 k 22k2m12 1 2 2 1 k 22k 2m22 1.12k 212k 2因12m m ，所以m1m2 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（ⅱ）解：由意得四形 ABCD 是平行四形，两平行AB,CD 的距离 d ,d =m1- m2 . 1+ k 2因 m1m20 ，所以d =2m1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分1+ k2所以 S | AB | d 2 2 1 k 22k 2m12 1 2m112k 21k 2(2 k2m121)m122k 2m12 1m124242222.12k 212k 2（或 S42(2k 21)m12 m144 2 (m121)2122 ）(12k2 )212k 224所以当 2k 2 1 2m12，四形ABCD的面S取得最大 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分(20)（本小分 14 分）解：（Ⅰ） f A (1)=1 ， f B (1)= - 1 ， A B {1,6,10,16} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）根据意可知：于集合C, X，① 若a ? C且a ? X，Card (C( X U { a})Card (C X )1；②若 a ? C 且 a ? X，Card (C( X U { a})Card (C X )1.所以要使 Card ( X A) Card ( X B) 的最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16 是否属于 X 不影响Card ( X A)Card ( X B) 的；集合X不能含有A U B之外的元素 .所以当 X集合{1,6,10,16}的子集与集合 {2,4,8}的并集，Card ( X A) Card ( X B)取到最小4.（Ⅲ）因A B {() x f A x所以 A B B A .由定可知： f A B ( x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 f B ( x) 1} ，f A ( x)f B ( x) .所以任意元素 x ， f ( A B ) C ( x) f A B ( x) f C (x) f A ( x) f B ( x) f C ( x) ，f A ( B C ) ( x) f A ( x) f B C ( x) f A ( x) f B ( x)f C ( x) .所以 f ( A B ) C ( x) f A ( B C ) (x) .所以 ( A B) C A ( B C ) .由 (P A) (Q B) A B 知： ( P Q ) ( A B) A B .所以( P Q) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) .所以P Q.所以P Q，即 P = Q .因P, Q A U B ，所以足意的集合（ P， Q）的个数27128 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分。