t 0
t
当 t 0 ，而 iC 为有限值，则有 UC (0 ) UC (0 )
（2）电感电流在换路前后的值不变
R
iL (0 ) iL (0 )
Us
K(t=0)
L
iL
由
UL
L diL dt
lim L iL t0 t
lim L iL (0 ) iL (0 )
t 0
t
当 t 0 而 U L 为有限值时，则有 iL (0 ) iL (0 ) 。
t RC
R
y(t) y(0 )et t 0
t0
零输入响应是初始值的线性函数，满足
齐次性，可加性
U0：
uC
U0e
t
t0
KU0 ： uC KuC KU0et
t0
U01+U02：
uC
(U01
U02
)e
t
U01et
U02e t
（b) 能量传输
t=0
电容能量：
wC
(0
)
1 2
例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容
电压从0变为U s 。电容电流
RK
iC
C
dUc dt
lim C t 0
U t
lim C Us 0 .
t 0
t
Us
C Uc
若电容电压能“瞬间”从0升到 U s ，则必需有:
ic
C
US t
0
电容电压上升需要时间！
例：原来电感 iL 0，
K闭合稳态时
iL
iC 和 uL 不连续。
duC iC , diL vL dt C dt L
因此：uC 的导数和 iL 的导数
在换路前后都是不连续的
第三节 一阶电路的零输入响应
零输入响应：当换路后的电路无外加激 励源，仅由储能元件的初始储能引起的 响应
利用一阶微分方程描述的电路称为一阶 电路
一、RC电路零输入响应
4 V R2
0V 2A
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
R1
IS
iR1
iR1(0 )
iR2 (0 )
1 2[IS
iL (0
)]
1
A
4 V R2
0V 2A
可以看到：换路前后瞬间 uC 和 iL 连续；
UC (0 ) US
R2 R1 R2
,
iL (0 )
US RБайду номын сангаас R2
由换路定则， UC (0 ) UC (0 ), iL (0 ) iL (0 )
因此计算 t 0 电路时，电容等效于一电压源 UC (0 )
电感等效于一电流源 iL (0 )
，
等效电路如图，得：
iC
(0
)
iL
(0
)
US R1 R2
第五章 一阶电路的瞬态分析
第一节 概述
电路结构，参数或电源的改变，称为换路。 电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为 过渡过程。
（1）对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变
化是“立即”完成的。
K闭合
I1
Us R1
，K打开 I1 0
K
R2
Us R1
R3
I1
（2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的 电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一 般需要时间。（过渡过程时间）。
iL (0 )
1 2
IS
2 A,
IS
Uc2 (0 )
0,UC1(0 )
1 2
IS R2
4V
C1
R1
iR1
R2 K
L C2
由换路定可知：
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
开关打开后等效电路如图
R1
IS
iR1
i(t) C duC
U0
t
e RC
dt
R
R iC
C uC(t )
负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考 方向相反
响应与电源（激励）无关 ， 又叫自由响应（natural response) 暂态响应（transient response）
零输入响应特点：
（a）
uC
U0e
t RC
,
i
U0
e
利用换路定则计算换路后瞬间电路状态
例 ：图示电路，开关闭合已久。求开
关打开瞬间电容电压电流 UC (0 ), ic (0 )
电感电压电流 iL (0 ),U L (0 ) ， 电阻电压U R2 (0 ) 。
R1 K
Us
R2
C uc
解：开关闭合时的电容电压 UC (0_ )
iL L
与电感电流 iL (0 )为
,
UR2 (0 )
il (0 )R2
US
R2 R1 R2
Us
UL (0 ) UR2 UC (0 ) 0
R1
u uR2 R2 iC c
uL iL
例 ： 图示电路 Is 4 A, R1 R2 2 ，开关闭合已久，
求开关打开瞬间电阻R1上的电流 iR1(0 ) iR2 (0 )
解：开关闭合时有
Us R
.
若电感电流
iL
能“瞬时”从0升到 Us
R
UL
L diL dt
lim L iL t 0
0 t
R
Us
则需一个无穷大端电压。
K L iL
电感电流上升需要时间！
过渡过程分析方法：
1. 经典法 2. 拉普拉斯变换法 3. 状态变量法 4. 积分法
例： 经典法解过渡过程
由KCL、KVL及元件电压电流关系
R iC
开关合向右边后，电路方
Us
程建立：（KVL）
Ric UC (t) 0
C uC(t
iC
C
dUC dt
得：
RC
dUC dt
UC
0
一阶线性常系数齐次微分方程
特征方程： RCS+1=0
S 1 RC
uC
keSt
ke
t RC
电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：
UC (0 ) UC (0 ) U0
从方程解出电容电压 UC (t) 的一般解(一阶微分方程解) 再由初始条件确定各系数。
第二节 换路定则与初始条件
1. 换路法则：（一般情况）
R
（1）电容电压在换路前后的值不变
Us
UC (0 ) UC (0 )
K(t=0) C Uc
由
iC
C dUC dt
lim C UC t0 t
lim C UC (0 ) UC (0 )
电路方程解：
t
t
UC ke RC ke
式中：
RC 为电路时间常数，单位为秒。
R iC
C uC(t )
由初始条件UC (0 ) U0 得 k U0
电容电压响应（变化规律）： UC (t) U0et
电压波形为
uC
U0
(t 0)
0.368U0
0.135U0
t
0
2
t
uC (t) U0e RC
（
u
iR, ic
C
dUC dt
,
uL
L
diL dt
）列出电路方程，
然后解出微分方程。
RiC UC us (t)
RC
dUC dt
UC
US (t)
R iC
uS (t) C
Uc
一阶微分方程
若Us(t)=Us
uC
US
Ae
t RC
t0
RC
dUC dt
UC
US (t)
UC (t) t0 UC (0 )