傅里叶分析应用于热传导问题（物理系郭素梅指导教师陆立柱）〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。
傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。
〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题引言1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。
万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。
1.傅里叶分析1.1 傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点[1]：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。
若函数()f x以2l为周期，即+=[2](2)()f x l f x(1.1.1)则可取三角函数族1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x lπ ，…sin x lπ,sin2x lπ, (i)n x lπ ， …(1.1.2)作为基本函数族，将()f x 展开为级数[3] ()f x =0a +1(n n a ∞=∑cosn x lπ+nb cosn x lπ)(1.1.3)可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]。
根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展 开系数为1()cos 1()sin l n l n l n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰（1.1.4） 其中2(0)1(0)n n n δ⎧=⎪=⎨≠⎪⎩(1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。
关于傅里叶级数的收敛性问题[2]，有Dirichlet 定理[4]。
若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开式(1.1.3)为()f x =1sinn n n x b lπ∞=∑,(1.1.5)这叫做傅里叶正弦级数。
由于对称性，其展开系数为1()sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰（1.1.6）同理，若周期函数是偶函数，则()f x =a +1sn n n xa co lπ∞=∑ (1.1.7)这叫做傅里叶余弦级数，其中，1()cosln lnn a f d l lπξξξδ-=⎰（1.1.8）对于只在有限区间，例如在(0,)l 上有定义的函数()f x ,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数()g x ，而在(0,)l 上，()g x ≡()f x 。
然后再对()g x 作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0,)l 上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l 无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在(0,)l 上均代表()f x .有时，对函数()f x 在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。
例如要求(0)()0f f l ==这时应延拓为奇的周期函数，因为sin n x l π│0x ==0, sin n x lπ∣x l ==0;又如要求''(0)()0f f l ==这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在0x =和x l =为零。
对于函数u(x,t),-l<x<l,t ≥0,展开为傅里叶级数时，可将t 视为参数，仅关于x 展开为傅里叶级数u(x,t)=a(t)+1(()s()sin n n n n x n xa t cob t l lππ∞=+∑)(1.1.9)其中的展开系数不是常数，而是关于t 的函数，1()(,)cos1()(,)sin ln ln ln l n a t u t d l ln b t u t d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰(1.1.10)1.2 傅里叶积分一般说来，定义在区间（-∞<x<∞）上的函数f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。
为了研究这样的函数的傅里叶展开问题，我们采取如下办法：试将非周期函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于周期2l →∞时的极限情形。
这样，g(x)的傅里叶级数展开式 g(x)=0a +1(s sin n n n n x n x a co b l lππ∞=+∑)在l →∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 的傅里叶展开。
仔细研究这一极限过 程[4]，可以得到：f(x)=0()cos ()sin A xd B xd ωωωωωω∞∞+⎰⎰(1.2.1) 其中A(ω)=1π∞-∞⎰f(ξ)cos ωξd ξ B(ω)=1π∞-∞⎰f(ξ)sin ωξd ξ(1.2.2)(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。
(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。
对f(x)的条件，有傅里叶积分定理[5]。
复数形式的傅里叶积分为:f(x)=∞-∞⎰F(ω)i x eωdω(1.2.3)F(ω)=12π∞-∞⎰f(x)*[]i xeωdx(1.2.4)1.3 含参数的傅里叶变换对于函数u(x,t),(-∞<x<∞,t≥0),可将t视为参数，仅将x成为自变量，则与一元函数f(x)的傅里叶展开类似可得：u(x,t)=∞-∞⎰F(ω,t)i x eωdω(1.3.1)其中F(ω,t)=12π∞-∞⎰u(x,t)*[]i xeωdx(1.3.2)(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。
２．细杆的热传导问题由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。
在细杆的热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。
应用热传导定理和能量守恒定律，可导出[6]可导出热传导方程：20t xx u a u -= (无热源、汇)2(,)t xx u a u f x t -= (有热源、汇)还需初始条件u(x,t)|0t t ==ϕ(x)和三类边界条件[7]：第一类 u(x,t)|0x x ==ψ(t)第二类 u x (x,t)|0x x ==ψ(t)第三类 u(x,t) |0x x =+Hu x (x,t)|0x x ==ψ(t)这样构成完整的一维热传导问题[8]。
根据空间变量 的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。
２.1 有界细杆的热传导问题这里仅选第二类边界条件作讨论，构成200(,)(0,0)|0|0|()t xx x x x x l t u a u f x t x l t u u u x ϕ===⎧-=<<>⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩(2.1.1)2.2 无界细杆的热传导问题20(,)(,0)|0t xx t u a u f x t x t u =⎧-=-∞<<∞>⎪⎨=⎪⎩(2.2.1)对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。
对第一类齐次边界条件的定解问题2(,)t xx u a u f x t -=（x>0,t>0）0|x u ==0 0|t u ==ϕ(x) 作奇延拓2(,)t xx u a u f x t -=0|t u ==()(0)()(0)x x x x ϕϕ>⎧⎨--<⎩对第二类边界条件 2(,)t xx u a u f x t -=（x>0,t>0）0|0x x u == 0|t u ==ϕ(x) 作偶延拓2(,)t xx u a u f x t -=0|t u ==()(0)()(0)x x x x ϕϕ>⎧⎨-<⎩３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题 傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。
对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程20t xx u a u -=在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos n x lπ(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数u(x,t)=0n ∞=∑()sn n xT t co lπ (3.1.1)把这个级数代入泛定方程，222'20[()()]s n n n n a n x T t T t co l l ππ∞=+∑＝f(x,t)(3.1.2)方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到： 222'200[]cos ()cos n n nn n n a n x n xT T f t l l l πππ∞∞==+=∑∑(3.1.3)其中()n f t 为(,)f x t 的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。
比较两边的系数，分离出n T （t ）的常微分方程'n T 2222n n a T l π+=()n f t(3.1.4)又把（3.1.1）代入初始条件，得：0(0)n n T ∞=∑cos n x l π=()x ϕ=0nn ϕ∞=∑cos n xl π (3.1.5)其中n ϕ为()x ϕ的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。
(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos n x lπ的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得n T (t)的非零初始条件001(0)()lo T d l ϕϕξξ==⎰ 2(0)()cos l n n o n T d l lπξϕϕξξ==⎰(3.1.7)n T (t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是n T (t)=22222222[()()]n a n a ttl l n n n ef t edt f t dt ππϕ-+-⎰⎰(3.1.8)这样所求解是(,)u x t =0{n ∞=∑22222222[()()]n a n a ttl l n n n ef t edt f t dt ππϕ-+-⎰⎰}cosn xlπ(3.1.9)可以证明(3.1.9)是存在且唯一的[10].3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题 对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x 积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成'220(;)(;)(;)(;)|0t U t k k a U t k F t k U t k =⎧+=⎨=⎩ (3.2.1)其中(;)U t k 为u(x,t)的傅里叶变换。