1.3函数的基本性质
课后导练
基础达标
1.己知函数y二-kx+2在(-8,+8)上单调递减，则k的取值范围是( )
A.k<0
B. k>0
C. k=0
D.不确定
解析：由一次函数的单调性可知：-k〈0,
・・・k>0.
答案：B
2.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为( )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增②若f(x)单调递增,g(x)单调递减，则f (x)-g(x)单调递增③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f (x)-g(x)单调递减④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f (x)-g(x)单调递减
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
解析：由函数单调性定义可得：②③正确，也可举反例否定①④命题.
答案：C
3.如果二次函数y=x2+(m-2)x+4在El,+oo］上单调递增，则m的取值范围是( )
A. mWO
B. m^O
C. mW4
D. m>4
m — 2
解析：-一Wl,即m^O.
2
答案：B
4.下列函数中，在区间(0,+8)上是增函数的是( )
3
A. y二一
B. y二2xT
C. y=l~2x
D. y= (2x~l)'
x
解析：由基本初等函数的性质可知选B.
答案：B
A.至少有一实根
B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有唯一实根
解析：由于f(x)在［-2, 3］上单调,又f(-2)・f(-3)<0, Ay=f(x)在［-2, 3］上必与x 轴有一交点，如右图•故选D.
答案：D
6•设函数f(x) (xGR)为奇函数,f⑴二丄，f(x+2)二f(x)+f(2),则f⑸等于( )
2
A. 0
B. 1
C. -
D. 5
2
解析：・・・f(x+2)二f(x)+f(2),且f(x)为奇函数，f⑴二丄，
2
・・・ f(l)=f (-1+2) =f (-l)+f (2) =-f(l)+f (2). Af(2)=2f(l)=2X 1=1.
2
・・・ f (5) =f (3+2)二f (3) +f (2) =f (1 +2) +f (2)二2f (2) +f (1)二丄.
2
答案：C
7.若f(x) = (m-l)x2+mx+3(xeR)的图象关于y轴对称，贝ij f(x)的单调递增区间为
解析：T由条件得- -------- 二0, ITF O,
2(m -1)
Ay=-x2+3,故增区间为(-8,0］.
答案：(-8,0)
8.f(X)是定义在R上的增函数，有下列函数：①丫二［f(X)］ 2是增函数；②y二一i一是减函
/(兀)
数；③y—f(x)是减函数；④y=|f(x)|是增函数.其中错误的结论是___________________ .
解析：利用单调函数的定义判断.
答案：①②④
9.己知函数f(x)=x2+mx在(-8, -1)上递减，在［-1,+8］上递增，则f(x)在［-2, 2］上的
值域为
解析:由条件知：- —=-1, .\m=2.
2
f (x) =X2+2X, /. y ra in=-1, ymax=f (2)=8.
答案：［T，8］
10.若一次函数y=mx+b在(-8, +oo)上单调递减，函数y=—!—的单调区间为
x + m
解析：由条件得m〈0, Ay=—!—的减区间为(―,-m)或(-叫+8).(如右图所示)
x-^-m
答案：(-8,-m)或(-m, +°°) 综合运用
2 ®y=-^— 丨刎 （—V ） 解析：当X G （-8,O ）吋y=_x 为减函数.y 二 -------------------------------------- 二T 为常数函数・y 二-——二x 为增函数, X 丨刎
X
y=x+ —=x-l 为增函数，.••③④两函数在(-8,0)上是增函数.
丨兀I
答案：C
12. 设函数f(x)是(-oo,+oo)上的减函数，则( )
A. f(a)>f(2a)
B. f (a)<f (a)
C. f (a 2+a) <f (a)
D. f (a 2+l)<f (a) 解析:Va 2+l-a=(a -丄尸+色 >0, 2 4
・：a 2+l>a.
V f (x)在(-8, +8)上为减函数,
.*.f (a 2+l)<f (a),选 D.
答案：D
1 — x
13. 函数的单调递减区间是 _________________________ •
1 +兀
\ — x 2
解析：解y 二——二T+——，可得减区间是,-1)和(-1, +<-).
1 +兀 兀+ 1
答案：(-8,-1)和(-1, +8)
14. 用定义证明y=-x J +l 在(-8,+8)是减函数. 证明：设 X1<X2,贝|J A x=x 2-xi>0,
A y=f (x 2) -f (xi) = (-X 23+1) -(-Xi 3+1)
=X13-X23=(X1-X2)(X12+X1X 2+X22)
=(X1-X2) [(Xi+—)2+—X 22]. 2 4
Txi 一X2二一 A x<0,
(Xi+^~)GO, — x 22^0 且 X ¥X 2, 2 4
(xi+— )2+ — X22>0, 2 4
/. A y<0,即函数f (x) =~x 3+l 在(-8,+8)上是递减函数.
拓展探究
15. 求函数y 二2x-l- J13-4x 的最大值.
令 t 二 713-4% (t 2 0), 贝】J x 二①尸I X
④y 二 x+— A.①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④ 13-r
Vt>0, Ay=- — （t+l ）2+6 在［0,+8］上为减函数, 2
・••当t 二0时，y 有最大值
2 13
解法二：函数的定义域为.
4 1 a _____ 1 a
V2x-1 在（-°°, 一 ）上递增，713-4% 在（-8,—）上递减,
4 4 y=2x-1 -V13 -4x 在—）上为增函数.
4 13 11 •:当x 二一时，y 有最大值一 • 4 2 2 2 (t+lF+6.
4 2。