2.13
试求下列工作情况下光波的群速度：
（1） n=A
B

2

C
4
(正常色散介质中的科希色散公式)；
（2） 2 =c 2 c2k 2 （波导中的电磁波， c 为截止圆频率） ；
4 2T （3） v p = （g 2 ) ( Vp 为液面相速度，g 为重力加速度，T 为表面张力， 2
（t） cos = Ex Ax
， sin（t） =1 cos（t） =1
2 2
Ex 2 （1） （2） Ax 2
Ey =Ay cos =A y [cos cos sin sin ] （t ） （t） （t）
sin 2 (t )sin 2 cos2 (t ) cos2 Ey2 Ay
为液体密度)
解：
2.14 设有两个同频率、 振动方向正交且相位差为δ的平面偏振光波沿 同一方向传播，其瞬时振幅矢量大小分别为 E（ ， （t x） =Ax cos x t） 。证明：两光波叠加所得的合振动矢量末端的轨迹 （ （t y） E =Ay cos y t） 满足方程： （
0 ，将 D = ε (r ) E 代入此式， 由麦克斯韦方程组第三式 ∇ D =
有
∇ D = ε∇ E + ∇ε E = 0
⇒
∇ε E ∇ E = −
ε
由 麦 克 斯 韦 方 程 组 第 一 式 的 旋 度 ，
∇ × (∇ × E ) = − µ
∂ (∇ × H ) ∂t
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ E ) − ∇ 2 E = −∇(
1-6 设某一无限大介质中， ρ = 0, σ = 0,
ε 、 µ 只是空间坐标的
函数，试从麦克斯韦方程和物质方程出发证明：
2
2 ∇ E + εµω E + ∇(ln µ ) × (∇ × E ) + ∇[ E ⋅ ∇(ln ε )] = 0
证明： ε = ε ( r ), µ = µ ( r )

{

}
∇ε ⋅ E = −∇(ln ε ) ⋅ E 由麦克斯韦方程 ∇ ⋅ D = 0 得 ∇ ⋅ E = − ε
取麦克斯韦方程组微分式第一式的旋度，
D = εE , B = µH ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE = ∇ε ⋅ E + ε∇ ⋅ E
∂ ∇ × (∇ × E ) = − (∇ × B) ∂t
E 2 EE Ex 2 ） （ y） 2 x y cos =sin 2 Ax Ay Ax Ay
E （ 证明：由于 E（ 的 相 位 差δ 起 作 用 ， 和每 个 的 初相 位 无 关 ， 故可 以 写成 y t） x t）
（ （t+） E =Ay cos ，所以可得 （ （t） E =Ax cos y t） x t）
解： D = εE , B = µH
电磁场能量密度
1 w = ( E ⋅ D + H ⋅ B) 2
=
1 (εE 2 + µH 2 ) 2
1 2 2 2 2 = [ε ( E x + Ey + E z2 ) + µ ( H x + Hy + H z2 )] 2 ε (1 + µ ) 2 [ A cos 2 (kz − ωt ) + B 2 sin 2 (kz − ωt )] = 2
即
∇ H+
2
∇ε × (∇ × H )
ε
∂2 H = µε 2 ∂t
（2）
色散介质中，对某一圆频率为 ω 的定态电磁波场，
E (r , t ) = E (r )e − iωt ， B(r , t ) = B(r )e − iωt （1） ， （2）式可化为
亥姆霍兹方程，
∇ 2 E + ∇(
∇2 H +
高等光学作业习题参考答案
2012.12.10
1-2 从麦克斯韦方程组出发，导出电磁场在两种电介质分界面处的边 值关系。
解： (ⅰ)
E ⋅ d l = ( E − E ) ⋅ ( t × n )∆l 1 2 ∫
当回路短边趋于零时，回线面积为零，而 ∂B ∂t 有限，所以

∂B ⋅ = ( − ) ⋅ ( × ) ∆ = − ⋅ dσ = 0 E d l E E t n l 1 2 ∫ ∫∫ ∂ t Σ
1-5 已知电场 E 和磁场 H 在直角坐标中的分量分别为：
E x = A cos(kz − ωt ) ； E y = B sin( kz − wt ); E z = 0
H x = − ε B sin( kz − ωt ) ； H y = ε A cos(kz − ωt ) ； H z = 0
试求电磁场的能量密度 w 和玻印亭矢量 S。
即
(t × n ) ⋅ ( E1 − E 2 )∆l = t ⋅ ( n × ( E1 − E 2 ))∆l
=0
得
n × ( E1 − E 2 ) = 0 ，即 E1t = E2t
(ⅱ)
( H 1 − H 2 ) ⋅ (t × n ) = t ⋅ (n × ( H 1 − H 2 )) = α ⋅ t 当没有电流分布时 α = 0 ，得
当不存在自由电荷时， ρ s
= 0 ，积分 ∫∫∫ ρ s dv = 0 ，所以
Ω
( D1 − D2 ) ⋅ n ∆s = 0 ，即 D1n = D2 n
(ⅳ)
∫ B ⋅ dσ = ∫ B ⋅ nds = ( B1 − B2 ) ⋅ n∆s = 0
即 B1n
= B2 n
2.10 一个氩离子激光器输出波长为λ=488nm 的高斯激光束
总功率 Pout =100mW ，在 Z Z1 平面上光束半径及波面曲率半径分别为 W1 1mm 和 R1 5m 。试求：该高斯光束束腰的位置、束腰半径及 Z Z 2 ( Z12 2m) 处的
E2 ( R2 ) 表达式
∇ε E
ε
) + k 2 E =0
+ k 2H = 0
（令 k
∇ε × (∇ × H )
ε
= ω εµ ）
z 2-1、一个平面电磁波可以表示为 Ex 0, E y 2cos[2 1014 ( t ) ], 幅和原点的初相位？ （２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？ （３）相应的磁场Ｂ的表达式？ z 解： （1）平面电磁波 E A cos[2 ( t ) ] c
( E1 p E1p ) cos 1 E2 p cos 2 E1s E1s E2 s a1 ( E1s E1s ) cos 1 a2 E2 s cos 2 a1 ( E1 p E1p ) a2 E2 p
∇ε E
ε
) − ∇2 E
∂ ∂2 ∂2 E − µ (∇ × H ) = − µ 2 D = − µε 2 ∂t ∂t ∂t
即
∇ E + ∇(
2
∇ε E
ε
∂2 E ) = µε 2 ∂t
（1）
同样， ∇ B
=µ∇ H = 0
∂ (∇ × D) ∂t
则 麦 克 斯 韦 方 程 组 第 二 式 两 边 取 旋 度 ，
2
即
2 ∇ E + εµω E + ∇(ln µ ) × (∇ × E ) + ∇[∇(ln ε ) ⋅ E ] = 0
1-7 从麦克斯韦方程组出发导出电磁场在有色散的非均匀介 质中所满足的亥姆霍兹方程。 解： 对于无色散的非均匀介质（假设各向同性） ，ε
= ε (r ) ，
µ = µ0 ，
n ( E1 E1 ') n E2 n ( H1 H1 ') n H 2
若分别以 x0、y0、z0 表示 3 个坐标轴方向单位矢量，则 n=z0，上述 边界条件简化为
ˆ0 E1 y E1y x0 E2 x y ˆ0 E2 y x ˆ0 E1x E1x y ˆ ˆ ˆ H1x H1x y0 H1 y H1 y x0 H 2 x y0 H 2 y x0
对应有 A 2V / m, 1014 Hz,

2
, 3 106 m 。
（2）波传播方向沿 z 负方向，电矢量振动方向为 y 轴。 （3） B 与 E 垂直，传播方向相同， ∴ By Bz 0

1 2 z Bx Ey Ey 108 cos[2 1014 ( t ) ] c 3 c 2
E1x E1x E2 x E E E 1y 1y 2y H H H 1x 2x 1x H1 y H1y H 2 y
即
考虑到平面光波电磁矢量振幅间的关系 H ( ) E ， 并结合 s 分量和 p 分量与场的坐标分量间的投影关系，可将上式简化为
n × ( H 1 − H 2 ) = 0, 即 H 1t = H 2t
(ⅲ)
∂D ( ) ( ) ( ) d σ H d l H H t n l J ⋅ = α ⋅ t ∆l ⋅ = − ⋅ × ∆ = + 1 2 ∫ ∫∫ t ∂ Σ
( ) D ⋅ d σ = D ⋅ n ds = D − D ⋅ n ∆s 1 2 ∫ ∫
2
2
Ey Ay
cos(t ) cos
(3)
将公式（1） ， （2）带入公式（3） ，整理即可得结果