1
0
b

y



ybw源自 y/w

b
0 0 1 c z z cw z / w c
0
0
0
1

w

w


1

The Army Armored Force Academy of PLA
2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换

1

Matrix Form：
A p ABT Bp
The Army Armored Force Academy of PLA
2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换
Homogeneous Transformation of Translation 空间中的某点用矢量ai+bj+ck描述，该点也可表示为：
正运动学是指根据仿人机器人的各关节角度求 各连杆的位姿，常用方法D-H方法。
逆运动学是指根据各连杆的位姿求解各连杆关 节的角度，即根据髋关节、膝关节和踝关节的位姿， 通过连杆间的几何位置等关系求解各关节的角度。
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2.1 Representation of Position and Attitude 位置和姿态的表示
A p B p ApBo
zB { B }
zA { A } oA
Ap
Bp
oB
yB
ApBo
yA
xB
xA The Army Armored Force Academy of PLA
2.2 Coordinate Transformation 坐标变换 • 旋转坐标变换 (Rotation Transform)
zC zB
{B}
zA
Ap
Bp
yB
{A}
oB
yC
ApBo
oA
yA
xC xB
xA
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2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齐次坐标变换
齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来 表示。一个向量的齐次表示是不唯一的，比如齐次坐标[8,4,2]、 [4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。
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《Principle and Design of Humanoid Robot》
第二章
仿人机器人的运动学与 动力学分析
The Army Armored Force Academy of PLA
第二章主要内容：
1 仿人机器人的结构 2 仿人机器人的运动学分析
r11 r12 r13
A
B
R

A xB
A yB
A zB r21
r22
r23

r31 r32 r33
zA { A }
xB
oB
R A 1
B

BART ;
A B
R
1
Ap
oA
yA
xA
zB {B}
yB
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关节名称 髋关节 膝关节 踝关节
人体的关节形式 球形关节
两方向转动关节 球形关节
替代方式 分解为三个十字交叉的转动关节
用一个转动副代替 分解为三个十字交叉的转动关节
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1.2 仿人机器人结构
自由度 DOF（Degrees of Freedom）
c s 0 0
Rot(z, ) s c 0 0
0 0 1 0

0
0 0 1
绕轴轴不变， 自轴取余弦； 余轴用sin( ) 符号看象限。
The Army Armored Force Academy of PLA
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[例]已知点 u=7i+3j+2k，将 u绕 z 轴旋转90°得到点 v，再 将点 v 绕 y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。
解：
c 90 s 90 0 0 7 3
v

Rot

z, 90

u

s
90 0
c 90
0
0
3



7

0 1 0 2 2
• Rotation about an axis
1 0 0
R(x, ) 0
c

s

0 s c
c 0 s
R(
y,
)


0
1
0

s 0 c
c s 0 R(z, ) s c 0
0 0 1
yB

0
0
0
1

1


1

c 90 0 s 90 0 3 2

w Rot y,90 v
0
1
0
0


7 7
s 90 0 c 90 0 2 3

0
0
0
1


1

1

z
w o u x
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仿人机器人原理与设计
Principle and Design of Humanoid Robot
主讲：张小明
《Principle and Design of Humanoid Robot》
课时安排：
第一章 仿人机器人概述 第二章 仿人机器人的运动学与动力学分析 第三章 仿人机器人的常用传感器 第四章 仿人机器人的执行器 第五章 仿人机器人的控制与轨迹规划 第六章 简单仿人机器人制作
zA zB
Bp yB
A
p
A B
R
B
p
o
yA
xA xB
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2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
• Rotation about an axis
Axp B xp cos A yp B xp sin
• Description of Position
px
A
p


p
y

pz
zA { A }
p
Ap
oA
yA
xA
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2.1 Representation of Position and Attitude
• Description of Orientation
2）踝关节侧翻角度不大， 保证稳定性。
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1.1 人体结构分析
关节名称
髋关节
膝关节 踝关节 （简化为2自由度）
运动名称 旋转（内旋/外旋）
前后伸/屈 内收/外展
伸/屈 内收/外展
屈/伸
运动范围 / ⁰ 外45 内45 前120 后15 内45 外45 前90 后0 左45 右45 前50 后50
yA { A }
{B} sinθ
p
xB
θ
oA
cosθ xA
绕z轴旋转θ
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2.2 Coordinate Transformation 坐标变换
• 复合变换 (Composite Transform)
A p BAR B p ApBo
v y
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若改变旋转次序，首先使 u 绕 y 轴旋转90°,再绕 z 轴旋转 90°,会使 u 变换至与 w 不同的位置w1。
1 0 0 a Trans(a,b, c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
对已知矢量 u=[x,y,z,w]T 进行平移变换所得的矢量 v 为：
1 0 0 a x x aw x / w a
v Trans(a,b, c) u 0
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1.2 仿人机器人结构
部位名称
肩
髋 膝 踝
关节自由度
俯仰 滚动 俯仰 滚动 偏摆 俯仰 俯仰 滚动
角度范围 / ⁰
-120 ~ 120 0 ~ 95
-100 ~ 45 -25 ~ 45 -45 ~ 45 0 ~ 130 -75 ~ 45 -45 ~ 45
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1.2 仿人机器人结构
仿人机器人的连杆模型二维视图
（忽略径向平面和侧向平面的耦合作用，分别研究）
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