课题：集合的知识点小结
教学目标：1掌握集合的有关概念及相关性质；2、理解集合间的关系；3、能够进行集合
的基本运算。

重点：集合的表示及三大性质，集合间的关系，数形结合思想的应用
难点：集合的基本运算，集合间的关系
教学内容：
一、集合的概念
元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写英文字母a,b,c…••来表示。

集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写的英文字母A,B,C…•来表示。

例如：①1,2, 3, 4, 5, 6, 7;
②某农场所有的拖拉机；
2
③在实数范围内方程x 5 0的解。

二、集合的表示方法
1、列举法：将集合中的元素一一列举出来，卸载大括号内表示集合的方法。

注意事项：①元素间用分隔号"，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后
才能用省略号。

2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内来表示集合的方法。

它的一般形式
是p|p适合的条件，其中p叫做代表元素。

注意事项：（1）、对于竖号“I”左边“ P”的姓氏引起足够的重视，看下面几个例子：
①对于集合A x|x2 x 1 0 , A中的元素是方程x2x 1 0的解集，A即是方程的解集。

②对于集合N x, y |2x y 4 0 , N中的元素可以看做是不等式2x y 4 0
所表示的平面区域，即直线2x y 4 0的右下方的坐标平面所有的点构成的集合。

（2）、此外，我们在用描述法的时候还应注意到一下问题：
①写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应该准备使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确。

3、图示法：为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集
合，例如：如图表示集合1,2,3,4,5 。

图像法，也叫做venn图法。

三、集合中元素的三大性质
1、 确定性：设A 施一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则 a 或者是A 的元素，或者是 不是A
是元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

2、 互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个 元素都是
不同的。

即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个
元素，在用列举法表示时，也只能写一个。

例如方程 x 2 2x 1 0的解组成的集合 A ，
必须写成A 1。

3、 无序性：集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而元素顺序不同的集合认为是相同的
集合。

例如集合
1,2,3,4 与4,3,2,1 是相同的集合。

四、集合的分类
1） 按元素的属性：数集（元素是数），点集（元素是点），直线集（元素是直线）等等，等 等。

2） 按元素的多少：有限集（元素的个数是有限个）
，无限集（元素的个数是无限个）和空 集
（不含有任何元素）
3） 常用的数集及符号表示： N （非负整数集，或自然数集），N*或N + （正整数集，或除了 0以
外的自然数集），Z （整数集），Q （有理数集），R （实数集） 五、集合与集合间的关系 （1 ）、元素与集合的关系
属于：如果a 是集合A 的元素，我们就说 a 属于集合A ，记作a A . 不属于：如果a 不是集合A 的元素，我们就说 a 不属于集合A ，记作a A . （2）、集合与集合间的关系
1）子集：若对于任意的x A ，都有x B ，则称A 是B 的子集，记作A B （或B A ）。

2）真子集：若A B ，且至少有b A,b B ，则称A 是B 的真子集，记作A B （或 B A ）。

3）集合相等：对于两个集合 A 、B ，如果A B ，同时B A ，那么集合A 和集合B 叫做相等集合，记作 A=B 。

4）空集：不含任何元素的集合叫做空集， 通常记为 。

特别注意：0， 0，， 的关系。

此外， 是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。

5） v enn 图：除了可以表示一个集合外，也可以用于集合与集合间的表示，如 A 是B
6）交集：由所有属于集合 A 且属于集合B 的元素所组成的集合叫做集合 集，记为A B,即A B= x|x A,且
x B 。

的真子集，则表示为
A 与
B 的交
A A A; A
7
A B B /A;
性质：A B A; A B B;
A B A B A;
A B B A B
合A或属于集合B的兀素所组成的集合叫做集合A与集合B
7)并集：由所有属于
集
的并集，记为A B,即A B= x | x A,或x B。

A A A; A A;
A B B /A;
性质：A B A; A B B;
A B A A B;
A B B B A
8) 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这
个集合为全集，通常记作U。

全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究问题而异。

例如，在研究数集时，常
常把实数集R看做全集。

9) 补集：一般地，设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集u中的补集(或余集)。

记为U A=x|x U,且x A。

性质：A u A =U; A u A= ; u ( u A) =A; u (A B)= ( u A) ( u B);
u (A B)= ( u A) ( u B); u = U; u U= .
六、集合的运算律
1
交换律
、
A B B A;
A B B A
2、结合律
A(B C)(A B)C;
A(B C)(A B)C
3
分配律
、
A(B C)(A B)(A C);
A(B C)(A B)(A C)。