大学生数学竞赛训练一（极限）一、计算()()()23400sin ln 138lim sin 1xx x x x t t dt x x e →+-+--⎰解：因为()()3333311sin 666x x x x x x x x x οο⎛⎫-=--+=+ ⎪⎝⎭ 原式()()343200054sin ln 1sin ln 1382limlim 1566xx x x x x t t dt x x x x x →→+-++-+==⎰ 又因为()()()332332332sin ln 126232x x x x x x x x x x x x x οο⎛⎫⎛⎫+-+=-+-++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()4441166x x x ο=+ 所以()()()23400sin ln 1138lim 5sin 1xx x x x t t dt x x e →+-+=--⎰。

二、计算()ln lim xx x ex→+∞⎫+⎪⎪⎝⎭解：因为10limlimx t x tt +→+∞→== 0lim t +→=⎝⎭()()32432011134lim 12t t t t t tt t t t +→⎛⎫+++++ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭()ln lim 1x x x e x→+∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()lim ln x x x e x →+∞⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()lim ln ln x x x x e e →+∞⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()lim ln 10x x xe -→+∞⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭所以()ln 1lim 12x x x e x →+∞⎫+⎪=-⎪⎝⎭。

三、计算()()221011221!2x nn n x x t dt n ∞+→--+∑⎰解：设()()()21011221!nn nn S t t n ∞+==-+∑，则 ()()()2101121!n nn S t n +∞==-+ ()()()()12211333x e x x x x x xx οοο=++-++=-+-，所以 ()()221004113x nn n x x x t dtx ∞+→→--+=-∑⎰2200031122lim 8323x x x x x x →→→-⋅====--。

四、计算2203022sin lim lim 2arctan 1arctan txx x t y dyx t t π+→+∞→⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰解：因为22ln arctan 22lim arctan 1lim 1x xx tx x x et ππ→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22224221112arctan ln arctan 12lim ln arctan lim lim 11x x x x x x t x t t t x t x xππ→+∞→+∞→+∞+==-42224222lim x t x t t t x ππ→+∞-==-+22220sin t t xy dy dy y dx y dy ==⎰⎰⎰，所以2222032300222sin lim lim lim 2arctan 1arctan 1arctan tx xt x t t y dyy dyx t e t t ππ++→+∞→→-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰2070022lim72t t y dy t t πππ++→→===---⎰ 五、设数列{}n x 定义如下()()110,1,11,2,n n n x x x x n +∈=-=证明：极限lim 1n n nx →∞=。

证明：方法一、 考虑函数()()[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当12x =时，()0f x '=。

由此可得12x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是递增的。

所以()211110143x x x <=-≤< ()32211111011133344x x x ⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…… …… ()122111110111111n n n x x x n n n n n ---⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ()1111111011111n n n x x x n n n n n --⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ …… …… 由于011n nnx n <<<+，()()()()()1111110n n n n n n n n x nx n x x nx x n x ++-=+--=-+>，所以数列{}n nx 是单调有界的，由单调有界准则可得lim n n nx →∞存在。

显然，0lim 1n n nx →∞<≤。

现证明lim 1n n nx →∞=，用反证法证明，设lim n n nx A →∞=，且01A <<，取()114A ε=-，因为lim ,lim 0n n n n nx A x →∞→∞==，所以存在整数0N >，当n N >时有()()111,0144n n nx A A x A εε-<=--<=- 1311,4444n n nx A x A <+<-()()1112n n x A +<+()()()()()()()()111111111111n n n n n n n n n n n x n x x nx x n x nx x x n x +-->+=+-=+-+=-+-+()()()()1111111n n n n n n x x nx x n x ---=-+-+-+ ()()()()()()()1111111121111N N N n n n n n N x x N x n x x nx x n x +++---=++-+++-+-+-+()()()()()11111111112nnN k k N k k N k N N x x k x N x A x ++=+=+=++-+>++-∑∑由此可得正项级数1n n x ∞=∑收敛；另一方面，由111n n x nx x x n ≥⇒≥，级数11n x n ∞=∑发散，由比较判别法，正项级数1n n x ∞=∑发散，这是一个矛盾，所以lim 1n n nx →∞=。

方法二、考虑函数()()[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当12x =时，()0f x '=。

由此可得12x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是递增的。

所以()211110143x x x <=-≤< ()32211111011133344x x x ⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…… …… ()122111110111111n n n x x x n n n n n ---⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ()1111111011111n n n x x x n n n n n --⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ …… …… 由夹逼准则可得，1lim 0limn n n nx x →∞→∞=⇒=∞，又因为()1111111110111n n n n n n n n x x x x x x x x ++==+⇒-=>--- 所以数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的，利用斯托尔茨定理()()2121111lim lim lim lim lim lim 11111n n n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x n n nnx x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞→∞→∞++-+-=====-=--。

六、设函数()f x 在区间[,)a +∞上有定义，且在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，如果()()()lim 1x f x f x A →+∞+-=，证明：()limx f x A x→+∞=证明：对于任取的0ε>，因为()()()lim 1x f x f x A →+∞+-=，所以存在0X >当1x X >时，有()()13f x f x A ε+--<取11x X >+，令[]11,n x X l x X n =-=--，则有01l ≤<()()()()111f x f X l n f X l f X l n A A xx n x++-++-=+- ()()()1111f X l n f X l f X l X l n A A x n x x ⎛++-+⎫++=-+-⎪⎝⎭因为 ()()11133A f X l f X l A εε-<++-+<+()()112133A f X l f X l A εε-<++-++<+…… ……()()11133A f X l n f X l n A εε-<++-++-<+所以()()113f X l n f X l A nε++-+-<由于在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，所以存在20X >，当2x X >时有()11,33f X l X l A xx εε++<< 取{}12max 1,X X X =+，当x X >时有()()()()1111f x f X l n f X l f X l X l n A A A xx n x x ⎛++-+⎫++-=-+- ⎪⎝⎭()()()1111f X l n f X l f X l X lA A n xxε++-+++<-++< 由此可得()limx f x A x→+∞=。