可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
t

3-37
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
初始值 ---- f (0 ( t )代表一阶电路中任一电压、电流函数。
电路，确定其它电量的初始值。
3-13
例1 已知：U=20V，R=1KΩ， L=1H，电压表内 阻RV=500KΩ，设 开关 K 在 t = 0 打开 试求: K打开的瞬间, 电压 表两端的电压。
解:
K . U V
L
iL
R
3-14
例2:已知：iL(0-) = 2A，电源均在t=0时开始作用于电路
试求：电路初始值i(0+)，iL(0+), 稳态值i(∞)，iL(∞)
则：
uC (0 ) uC (0 )
i L (0 ) i L (0 )
3-12
电路初始值的确定
初始值：电路中 u、i 在 t=0+ 时的大小。
求解要点： 1.
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效
1 2 WL uidt Li 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电 感的电路存在过渡过程。
3-6
从电路关系分析
K + _E R uC i 若 uC 发生突变， 则 duC C
i 一般电路
不可能！
dt
K 闭合后，列回路电压方程：
duC E iR uC RC uC d t du 电容电压 (i C ) 不能突变！ dt
3-17
§3.3,3.6 RC、RL电路的响应
一阶电路
由电路规律列写的微分方程，若其是一阶的，
则该电路为一阶电路。通常一阶电路中的储能元件 仅有一个或可等效为一个储能元件。
一阶电路暂态过程的求解方法
1. 经典法: 用数学方法求解微分方程。

2. 三要素法: 求初始值、稳态值、时间常数。 ……………...
第三章 电路的暂态分析
3-0
第三章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件和电容元件
3.2 储能元件和换路定则 3.3 RC电路的响应 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 3.5 微分电路与积分电路
3.6 RL电路的响应
3-1
在自然界中，当事物从一种稳定状态转换到 另一种新的稳定状态时，往往需要一定时间，且 不可跃变，此物理过程称为过渡过程。 由于在电路中存在储能元件 — 电感或电容， 因此在电路中也有过渡过程，但因它往往十分短 暂，故而也称为暂态过程。电路在过渡过程中的 工作状态称为暂态。
路中，令
u'C K（常数）。代入方程，得：
K E
dK RC K E dt
在电路中，特解也称为稳态分量或强制分量，
它是电路换路后的新稳态值 ，记为：uc(∞)。
u'C (t ) uC () E
3-20
2. 求齐次方程的通解 ——
u"C
duC 通解即： RC uC 0 的解。 dt
2 . 电路中电源的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变 · · · · · · · · · · · ·
3-10
换 路
S t=0
闭合
S t=0
断开
A B
S t=0
换接
3-11
换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0 --- 换路前瞬间 0 --- 换路后瞬间
uC (0 ) U 0 0
t RC
E
uC
t
uC (t ) E (U 0 E )e
uC (t ) E Ee
t
RC
3-32
R-C电路的全响应
K
+ t=0
_E
R C
uC
duC RC uC E dt
E
U0
uC
uC (0 ) U 0
uC (t ) E (U 0 E )e
3-18
* 经典法
K + _E R C
例
i
dt
一阶常系数 线性微分方程
uC RC duC uC E
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解
即：
uC (t ) u'C u"C
3-19
1. 求特解 —— u'C
u'C 和外加激励信号具有相同的形式。在该电
1 P RC
u"C (t ) Ae
Pt t
[uC (0 ) uC ()]e (U 0 E )e
t RC
RC
3-24
微分方程的全部解
uC (t ) u'C u"C uC () [uC (0 ) uC ()]e E (U 0 E )e
稳态值 ----
f ( )
时间常数----
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素 法。只要是一阶电路，就可以用三要素法求解。
3-38
三要素法求解过渡过程要点：
分别求初始值、稳态值、时间常数； 将以上结果代入过渡过程通用表达式；
画出过渡过程曲线（由初始值稳态值）。 （电压、电流随时间变化的关系）
3-2
“稳态”与 “暂态”的 概念:
K R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处于旧稳态 过渡过程 : 旧稳态 新稳态
电路处于新稳态
uC
E
暂态
稳态
t
3-3
产生过渡过程的电路及原因?
电阻电路
K + _ E R t=0 I
I
无过渡过程
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变 化，不存在过渡过程。
3-4
3-35
R-L电路的响应
t=0 + E i L R + i L t=0 R
零输入响应
零状态响应
3-36
§3.4 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
K R C
t
i
uC
RC
由经典法推导的结果：
+ _E
uC (t ) u'C u"C
uC () [uC (0 ) uC ()] e

2
t
E

u ( )

次切距
t
t
0
3
4
5
6
uC 0 0.632E 0.856E 0.950E 0.982E 0.993E 0.998E 当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3-27
uC (t ) E Ee
E 0.632E
t

1
2
3
1 2 3
t RC
t
RC
代入该电路起始条件： uC (0 ) uC (0 ) U 0
uC (0 ) uC () Ae E Ae U 0
0 0
故：
A uC (0 ) uC () U 0 E
3-23
微分方程的通解
A uC (0 ) uC () U 0 E
在零输入的条件下，由非零初始态引起的响 应，为零输入响应。 此时，uc (0 )或 i L (0 ) 被视为一种输入信号。
零状态响应：
在零状态的条件下，由激励信号产生的响应， 为零状态响应。
全响应：
电容上或电感上的储能和电源激励均不为零 时的响应，为全响应。
3-30
R-C电路的零输入响应（放电）
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
稳态所需要的时间越长。
3-28
1 2 3
t
电路的状态
零状态、非零状态 换路前电路中的储能元件均未贮存能 量，称为零状态 ；反之为非零状态。
零输入、非零输入
电路中无电源激励 —— 输入信号为零 时，为零输入；反之为非零输入。
3-29
电路的响应
零输入响应：
i(t) 30Ω
+ 180V 60Ω
iL(t)
1H 2A
解:
3-15
例3：
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向 “ 2” 试求: i、i1、i2、uC、uL的初始值。
2 K + 1 E R
i i2
i1
uL
R1 2k
R2 1k
2k
_ 6V
uC
3-16
总结
1. 换路瞬间，
能突变，变不变由计算结果决定；
3-8
研究过渡过程的意义
过渡过程是一种自然现象， 对它的研
究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利
的方面，如电子技术中常用它来产生各种波
形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，
可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须
采取防范措施。
3-9
§3.2 储能元件和换路定则
换路: 电路状态的改变。如：
1 . 电路接通、电源断开
t=0
1 +
K 2 R C
U0
-
uC
duC RC uC 0 dt uC (0 ) U 0 E 0
t RC
U
0
uC
t
uC (t ) E (U 0 E )e