利用梅森公式，根据图4，可推出 GP ( s )Gn ( s) 1 Q( s) GDY ( s) Gn ( s) GP ( s) Gn ( s) Q( s)
G Y ( s ) GP ( s)Q( s) Gn ( s) GP ( s) Gn ( s) Q( s)
GDY ( s) GP ( s)
G Y ( s ) 0
(8)
G 上式说明，在高频时， Y ( s ) 0 可见干扰观测器 对测量噪声不敏感，可以实现对高频噪声的有效滤除， 但对于对象参数的摄动及外部扰动没有任何抑制作用。 通过上述分析可见,通过采用低通滤波器 设计
Q( s)
可以实现对低频干扰的有效补偿和高频噪声的有效 滤除,是一种很有效的工程设计方法。 由简化框图4可以从另一个角度来理解干扰观 测器的作用。在低频段， Q( s) 1 则
仿真程序: 连续系统: do_sim_int.m, do_sim.mdl, do_sim_plot.m
离散系统的控制仿真
对象(9)式可离散化为:
G p ( z 1 )
其中 m 为延迟时间。
z m B p ( z 1 ) Ap ( z 1 )
(16)
离散化的名义模型表示为：
z mn Bn ( z 1 ) Gn ( z 1 ) An ( z 1 )
鲁棒稳定条件已经被破坏；截止频率为150HZ时，1/ ( s) 与
Q( s ) 的幅值比较接近，是较为理想的选择；但是
考虑实际系统还有其他的模型误差及离散化时残差的影
响，综合鲁棒稳定与系统性能，只能选择50HZ的滤波 器。综上所述，由于时间的延迟的影响，系统只能在较
低频段保持扰动观测器的特性。
Bode Diagram 150 1/Delta Q1 Q2 100 Q3
(10)
在设计低通滤波器 Q ( s ) 的带宽时，高频扰动
对系统产生扰动作为标称对象的乘积摄动：
G p ( s) Gn ( s)(1 ( s))
其中 ( s ) 为高频振动。
(11）
为分析时间延迟对控制器性能的影响，假设时间
延迟因子是唯一不确定部分，此时
An ( s ) Ap ( s )
附：用梅森公式求传递函数（P程鹏《自动控制原理》49）， 该公式的证明可参考有关著作。
梅森公式的一般形式为：
G s
P
k 1 k
n
k

G 式中： s —待求传递函数:

k
—特征式，且
1 Li Li L j Li L j Lk
Pk —从输入端到输出端第 k 条前向通道的总传递函数
和 Bn ( s) B p ( s) ，由公式（9），（10）和（11） 可以得到：
( s ) e
sTd
1
(12)
保证干扰观测器内环鲁棒稳定的充分必要条件是：
|| T ( jw)( jw) || 1
(13)
其中 T ( s ) 是补灵敏度函数。
在干扰观测器的设计中，取 T (s) Q(s) ，则
* * 1 m mn
Gn )
*
(19)
GNY ( z 1 )
z mn G p*Q ( z 1 ) Gn * Q ( z 1 )( z mG p* z mn Gn* )
(20)
1 设 Q( z ) 为理想的低通滤波器，即在低频段，当 f ≤f q 时，
Q 1 Q( z 1 ) 1 ；在高频段，当 f f q 时， ( z ) 0 。
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Frequency (Hz)
图5 滤波器 Q( s ) 的选择
参考文献：
C.J.Kempf, S.Kobayashi, Disturbance Observer and Feedforward Design for a High-Speed Direct-Drive Positioning Table. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1999, 7: 513-526
Q( s )
3 s 1 3 s3 3 2 s 2 3 s 1
(15)
低通滤波器的截止频率由时间常数 决定，随着 的减少
带宽逐渐增加。取滤波器 Q( s) 的截止频率分别为50、150 和 450HZ，分别记为 Q1 Q2 和 Q3 ，见图5所示。
由图5可以看出，当截止频率为450HZ时，式(13)的
在低频段时，有
GCY ( z 1 ) Gn ( z 1 ) , GDY ( z 1 ) 0 , GNY ( z 1 ) 1.
说明干扰观测器对于低频干扰具有很好的抑制能力，但对 低频测量噪声非常敏感。
在高频段时，有
GCY ( z 1 ) Gp ( z 1 ) , GDY ( z 1 ) G p ( z 1 ), GNY ( z 1 ) 0.
Q( s) 0 具体分析如下:
在低频时， Q( s) 1
GUY ( s) Gn ( s)
由式(3)至(6)，有
GY ( s) 1
GDY ( s) 0
(7)
上式说明，在低频段，干扰观测器仍使得实际
对象的响应与名义模型的响应一致，即可以实现 对低频干扰的有效补偿,从而保证较好的鲁棒性。
d 为等效干扰,

为测
量噪声。
d
u





GP ( s )


y

ˆ
ˆ d
Gn ( s )
干扰观测器
1

Q( s)
图3 干扰观测器原理框图
根据梅森公式，由图3可得从 u 到 y 的传递 函数计算方法：
由于
P
k 1 k
n
k
Gp s
(2)
Li Q s Gn 1 s Q s Gp s
(17)
由连续干扰观测器可得到离散干扰观测器的结构，如图6所示，
为低通滤波器，则 Q( z 1 )
图6 离散系统干扰观测器
图7 与图6等价的离散系统
取
Bn ( z 1 ) * Gn ( z 1 ) An ( z 1 )
B p ( z 1 ) Ap ( z 1 )
G * ( z 1 ) p
由图7可得：
GCY ( z 1 )
z mG p*Gn* Gn * Q ( z 1 )( z mG p* z mn Gn* )
(18)
GDY ( z 1 )
z mG p*Gn* (1 z mn Q ( z 1 )) Gn Q ( z )( z G p z
说明干扰观测器对于高频段测量噪声具有很好的 抑制能力，但对干扰却没有抑制作用。
(3)
即：
GUY ( s)
GP ( s)Gn ( s) Gn ( s) GP ( s) Gn ( s) Q( s)
(4)
根据式（3），对图3做等效变换，得到简化框图4 如下。
d


u
1 1 Q( s)


GP ( s )
y
Q( s) Gn ( s )


图4 图3的简化框图
(5)
(6)
Q ( s ) 是干扰观测器设计中一个非常重要的环节，首先，为使
Q( s)Gn 1 ( s) 正则，Q ( s ) 的相对阶应不小于 G ( s)的相对阶；其次，
n
Q( s)
带宽的设计，是在干扰观测器的鲁棒稳定性和干扰抑制
能力之间的折衷。
Q ( s ) 的设计原则为:即在低频段， Q( s) 1 ；在高频段，
1 1 Q( s)
Q( s) Gn 1 ( s ) Gn ( s )
，显然，加入干扰观测器后，
系统在低频段时的控制相当于高增益控制； 在 高频段， Q( s) 0 则
1 1 Q( s) 0 ， ( s) ，即前向通 1 Q( Байду номын сангаас) Gn
道的控制增益为1，反馈系数为0，则从 到 之间
相当于开环，其传递函数等于对象的开环传递函 数 GP ( s) ，干扰观测器的作用消失。
3. 低通滤波器 Q ( s ) 的选择
假设被控对象可以表示为：
G p (s) e
sTd
Bp ( s) Ap ( s )
（9）
其中 Td 为延迟时间。
名义模型可以表示为:
Gn ( s ) Bn ( s ) An ( s )
sys_delay.m ，其结果见图5 。 clear all; close all; tol=400*10^(-6); [np,dp]=pade(tol,6); delay=tf(np,dp); delta=tf(np,dp)-1; sys=1/delta;
figure(1); bode(1/delta,'r',{5,10^5});grid on; tol1=0.00035; Q1=tf([3*tol1,1],[tol1^3,3*tol1^2,3*tol1,1]); hold on; bode(Q1,'k--');
ˆ 由上图，求出等效干扰的估计值 d 为：
ˆ d G ( s )G 1 (s ) d d P P
（1）
式（1）说明，用上述方法可以实现对干扰的准确估计和补 偿。图2描述了干扰观测器的基本思想，但对于实际的物理 系统，其实现存在如下问题：