x a 即为粒子运动的转折点。

有量子化条件e 2nh得a 2----m代入(2)，解出设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为P x n x h/2a ,n x ,n y ,n z 1,2,3,粒子能量第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m2量子力学的诞生2x 2中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)]解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2由此得a j2E/m 2口 p dx 2 j2m(Ea '2 2 X .x )2ma _ __________J a 2 x 2dxa2ma 2 nhE n n1,2,3,(4)积分公式： J a2u 2duarcs in^ c 2 aX, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于X 方向，有口 P x dx n x hn x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期)同理可得,P y n y h/2b . P z n z h/2c ,mh ，因而平面转子的能量1,2,3,有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是：,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位,En x n y n 2m 2 22 2、P y P z ) 2m 2n x ―2a2ny b 22n zcn x ,n y , n z 1,2,3,设一个平面转子的转动惯量为I， 求能量的可能取值。

2提示：利用0 p d nh, n1,2, ,p 是平面转子的角动量。

转子的能量 P2/2I 。

解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。

按量子化条件 p dxmhm 1,2,3,Bev 2mv(1)又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强2ev* r * B e r一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n2mc(n 1,2,3 )，未找到答案E mP2/2I m 2 2/2I ，洛伦兹与向心力平衡In 1(a 2 X 2 ^Jb 2 (c X 2)n 1x X求此式变分，令之为零，有：I n 1n2(cJ b 2(c X)2X)这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v 应等于光波的群速度V G 光程原理作v Gdl 0,依前题相速(1) 试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律rnsi n 1 n2sin 2(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难:射定律n1sin3n3sin1媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有pdl 0，你怎样解决矛盾In 1AQn 2QB设A , B 到界面距离是a,b(都是常量)有1n 1asec1 n2bsec2atg 1 btg 2 c⑶与⑷消去d 1和d 2得"Sin 1n2sin2⑸如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理pd l认为p mv 则 pdl 0这将导得下述折这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子:EV仍就成立，E 是粒子能量，从一种c(解)甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播,因此自定点A 到定点B 的路径是两段直线：光程又AB 沿界面的投影c 也是常数，因而 12存在约束条件:求(1)的变分，而将2看作能独立变化的,有以下极值条件I n“asec j tgid 1 n2bsec2tg2d2再求(2)的变分2■2asecd bsec2d2［乙法］见同一图，取x 为变分参数,取0为原点, 则有：2mv r c 2H一,本题中qjv ,p ip ,因而 Pi, ___________________ 2I ~2 ~2 c p v —v m c c p IPV m c c p从前式解出P (用v 表示)即得到(2).又若将⑵ 代入(3),就可得到(1)式.于⑶式左方，遍除h :VG 占c 2k 2c 2k2C P _ ~2~2 cP c2 2V P _,而V G J cn , n 是折射率，n 是波前阵面更引起的，而波阵面速度则是相速度 P V G V PV P ，这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理ndl 0前一非难是将光子的传播速度v 看作相速度 V P 的误解.对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出me 2i' F(1)试根据哈密顿量Jm 2c 4c 2p 2(3)及正则方程式来检验以上二式 速..由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组 其次求粒子速度 v 和它的物质波的群速度V G 间的关系.运用德氏的假设p k 于(3)式右方，又用c"2(k)按照波包理论，波包群速度V G 是角频率丢波数的一阶导数:2| 22c kL '2 4 \f m cV G 和V P 的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设:补充:试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有(n 1,2,3,)2a/n又据de Broglie 关系h/而能量最后一式按照（4）式等于粒子速度 v，因而VG又按一般的波动理论，波的相速度 VG 是由下式规定VP利用（5） k 式得知 （是频率） V Pm 2c 4 2-V c c(6)故相速度 （物质波的）应当超过光速。

V GV PV G(7)p 2/2m K 2 2h n2m 4a 22/2m 22 2n 22ma 2n 1,2,3,最后找出 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动,V(x)0, 00,(1)#［1］试用量子化条件，求谐振子的能量［谐振子势能V （x ） 1m2x 2］（解）（甲法）可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:□ pdq nh,令p m X 为振子动量，q x 为振子坐标,设总能量E求积分：p m X ma cos t (5) 将(4)(5)代量子化条件：。

pdq ma2cos 2tdt nh 2T 是振动周期,T=—,求出积分，得m a 2nhE Ln n2n 1,2,3 正整数在量子化条件中 则E P22m)2 2,2m(E 宁)代入公式得：Ofm2x 2j2m(Eh)dx nh量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在 A 或B 点动能为1 2 20, E ^m a ,(1)改写为:ai'X 2dx nh积分得：m a 2nh1遍乘 ---- 得2E h2 ［乙法］也是利用量子化条件t 的项表示： ,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为 ，直接写出位移x ,用q X asin t 求微分：dq dx a costdt ⑷(3)#[2]用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量 ，箱的长宽高分别为a ，b ，c.（解）三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动 ，每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号（如P P ），其余分动量不变，设想粒子从某一，此周期中动量与位移同时变号，量子化条件：E 2- 2-(p ； p y p ；)2m 2-1 [(n x h )2(n yh 、22m [( 2a )(2b 2 2分运动完成一个周期 。

P x dqxnx ha2Px0dx2aPxP yd qyn yh b2P y 0dy2bPyP zdq zn z hc2Pz0dz2CP zP x ，P y ，P z都是常数，总动量平方 P2 2P y P z 总能量是：)2唱2]2=8-[(7)2 (T)2（¥）2]但 n x ，n y ，n z 1,2,3[3] 平面转子的转动惯量为 ，求能量允许值.（解）解释题意：平面转子是个转动体，它的位置由一坐标（例如转角 ）决定，它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学，转子的角动量是角速度，能量是E 122利用量子化条件，将P 理解成为角动量，q 理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周 ,则有° pdq (1) 说明是量子化的nh n ,————(n2nh (1)1,2,3 ……..)代入能量公式，得能量量子化公式：E2 2川、2 n。