2.3.3直线与平面垂直的性质
复习回顾
1. 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且
和这个平面内的任意一条直线都垂直,则
称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点
叫做垂足.
有定义可得：
若l , b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那 么直线a，b的位置关系如何？
l
a
b
相交
l
ab
平行
b
l
a
异面
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
a
则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α.
α
α
β
2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面 A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线 A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂 直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B A
3. 设 ,CD ，AB ,AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为 什么？
∴过点o的两条直线 b和
b’都垂直平面α , 这不可能!
∴a∥b .
b b’ o
巩固练习
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
巩固练习
3 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。
am,an
bm,bn
，
①
,则 a∥b
①m与n相交 ②m与n异面 ③m与n不平行
4 如图，已知 l,CA
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
D A E
B
C
对于三个平面、、，如果，，β，
= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？
β 解答：在内分别
l
作平面的垂线a、b，
α
则a l,b l, a与
a
b
b必相交. 所以l⊥
1.知识小结
小结
几个结论和性质的应用
2.思想方法
面面垂直
线面垂直或线线垂直
作业
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垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m,a n
线线垂直 线面垂直
新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考2
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习1
两个平面相互垂直
三个平面两两垂直
α
l β
α
β
l γ
复习2 两个平面垂直的判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
l β
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直， 在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在， 怎样画线？
β
质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
若α⊥β，过平面α内一点A作平面β
的垂线a，那么垂线a与平面α具有什么样
的位置关系?
α A
反证法证明点B 在两个平面的交
线上
β
B
B’
注意：过一点只能
作一条直线垂直于
已知平面.
结论 如果两个平面互相垂直，那么经过
一个平面内一点且垂直于另一个平面 的直线，必在这个平面内.
α A
B β
例1.如图，已知α⊥β，a⊥β， a，试判断直线a与平面α的位置关
系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， BC 2,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD.