线性方程组和矩阵知识总结
吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111
其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.
线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解
b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.
n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.
线性方程组的解法
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111
（1）、写出线性方程组的增广矩阵。
（2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。
（3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。
如果是，则方程组无解；反之方程组有解。
（4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。
如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r<n ，则方程组有无穷多解。
（5）把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。
（6）根据简化阶梯形矩阵，给出线性方程组的一般解或解集。
一些特殊的矩阵
（1) 行矩阵——只有一行的矩阵。
（2) 列矩阵——只有一列的矩阵。
（3) 零矩阵——所有元素都等于0的矩阵。
（4) 当m n =时称 ()ij n n A a ⨯=为n 阶方阵；1122,,
,nn a a a 所在的对角线称
为方阵的主对角线。
（5）主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵。
（6) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d D 00000021，简记为),,,(21n d d d diag D =。
（7) 单位阵记以E 。
注 （1） 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量。
这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”。
（2）n n ⨯矩阵也称为n 阶方阵或n 阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的。
（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。
对线性方程组(1) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A 1111称为(1)的系数矩阵，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m mn m n
b a a b a a A
11111称为(1)的增广矩阵。
矩阵的行(列)初等变换：
(1) 对换矩阵的两行（列），用()ij ij r c 表示对换,i j 两行（列）的行（列）初等变换，即i j r r ↔（i j c c ↔）；
(2) 用非零数乘矩阵的某一行（列），用()(())i i r k c k 表示以0k ≠乘矩阵的第i 行（列）的行（列）初等变换，即()i i i i r kr c kc →→；
(3) 将矩阵的某行(列)乘以数k 再加入另一行（列）中去，用()(())ij ij r k c k 表示k 乘矩阵的第i 行（列）后加到第j 行（列）的行（列）初等变换，即()j i j i r kr c kc ++。
4、 矩阵的等价
定义 将矩阵A 的行经有限次初等变换化为B ，称A 与B 等价，记作~A B 。
5、 行阶梯形矩阵与最简形矩阵
定义3 若矩阵A 的零行（元素全为零的行）位于A 的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称A 为行阶梯形矩阵。
定义4 若行阶梯形矩阵A 的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称A 为最简形。
6、 用初等变换线性方程组的解
1) 将(1)的增广矩阵A 用行初等变换化为最简形；
2) 由最简形对应的方程组得到解。
矩阵的秩
矩阵秩的求法
（1）定义法
找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数．
（2）初等变换法
用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r
E O O
O ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．
矩阵秩的性质
（1）()()T R A R A =
（2）A O R O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=()()R A R B + （3）{}max (),()(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+
（4）()()()R A B R A R B +≤+
（5）若A B ，则()()R A R B =
即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本．
（6）()R AB ≤{}min (),()R A R B
（7）若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤
（8）A 为任意矩阵，则()()T R A A R A =。