0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6733
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
7
初值问题（2.2）有解 y ，1按2这x 个解析式子
算出的准确值 y(x同n )近似值 一y起n 列在表9-1中，两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差.
17
所以，局部截断误差可理解为用方法（2.10）计算一步的 误差，也即公式（2.10）中用准确解y(x代) 替数值解产生
的公式误差.
根据定义，显然欧拉法的局部截断误差
Tn1 y( xn1) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y(xn h) y(xn ) hy(xn )
y(2) n1
yn
hf
( xn1,
y (1) n1
).
11
如此反复进行，得
y (k 1) n1
yn
hf
( xn1,
y(k) n1
),
(k 0,1, ).
（2.6）
由于 f (x,对y) 满足y 利普希茨条件（1.3）. 由（2.6）减 （2.5）得
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k) n 1
积分曲线上一点 (x的, y切)线斜率等于函数 值.
的f (x, y)
如果按函数 f (在x, y) 平x面y上建立一个方向场，那 么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方 向相一致.
基于上述几何解释，从初始点 P0 (x出0 ,发y0，) 先依 方向场在该点的方向推进到 x 上x1一点 ，P然1 后再从 P1 依方向场的方向推进到 x 上x2一点 ，循P2此前进做出
yp
yn
h( yn
2 xn yn
),
yc
yn
h( y p
2 xn1 ), yp
yn1
1 2
(yp
yc ).
仍取 h ，0.计1 算结果见表9-2. 同例1中欧拉法的计算结 果比较，改进欧拉法明显改善了精度.
24
表9 2 计算结果对比
xn
yn
y(xn ) xn
yn
y(xn )
0.1 1.0959 1.0954 0.6 1.4860 1.4832
（2.12） 则称方法（2.10）具有p阶精度.
若将（2.12）展开式写成
Tn1 (xn , y(xn ))h p1 O(h p2 ), 则 (xn , y(x称n ))为h局p1部截断误差主项.
以上定义对隐式单步法（2.9）也是适用的.
19
对后退欧拉法（2.5）其局部截断误差为
Tn1 y( xn1) y( xn ) hf ( xn1, y( xn1))
)
f ( xn1, yn1 )
hL
y(k) n 1
yn1
.
由此可知，只要 hL 迭1代法（2.6）就收敛到解 .yn1 关于后退欧拉方法的公式误差，从积分公式看到它与欧拉
法是相似的.
12
9.2.2 梯形方法
为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式（2.4）右
端积分中若用梯形求积公式近似，并用 y代n 替 y(xn ), yn1 代替 y(x，n1则) 得
于是可得欧拉法（2.1）的公式误差
y(xn1)
yn1
h2 2
y(n )
h2 2
y(xn ),
称为此方法的局部截断误差.
（2.3）
9
如果对方程（1.1）从 xn到 x积n1分，得
y(xn1) y(xn )
xn1 f (t, y(t))dt.
xn
（2.4）
右端积分用左矩形公式 h f (xn , y近(x似n ，)) 再以 代替 yn y(xn ),代yn替1 也y得(x到n1（) 2.1），局部截断误差也
还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.
假设 yn ，y即(x顶n )点 落在积Pn分曲线 上，那么，按欧拉方法做出的折线 Pn P便n1是 过点 P的n 切线（图9-2）.
y y(x) y y(x)
图9-2
8
从图形上看，这样定出的顶点 P显n著1 地偏离了原来 的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.
为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的 计算，这就简化了算法.
具体地，先用欧拉公式求得一个初步的近似值 y, n1 称之为预测值，预测值 yn的1精度可能很差，再用梯形公 式（2.7）将它校正一次，即按（2.8）式迭代一次得，这个 结果称校正值，而这样建立的预测-校正系统通常称为改进 的欧拉公式：
Tn1 y(xn1) y(xn ) h(xn , y(xn ), h)
（2.11）
为显式单步法（2.10）的局部截断误差. Tn1 之所以称为局部的，是假设在xn 前各步没有误差.
当 yn y时(x，n )计算一步，则有
y(xn1) yn1 y(xn1) [ yn h (xn , yn , h)] y(xn1) y(xn ) h (xn , y(xn ), h) Tn1.
为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将 y(xn1) 在 x处n 展开，则有
y(xn1) y(xn h)
y(xn )
y(xn )h
h2 2
y(n )
n ( xn , xn1).
在 yn y的(x前n )提下，
f (xn , yn ) f (x. n , y(xn )) y(xn )
yn1
yn
h 2
[
f
( xn
,
yn
)
f ( .
梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解.
同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值， 则梯形法的迭代公式为
13
y(0) n 1
yn
h
y (k 1) n 1
yn
f (xn , h[f ( 2
yn ); xn , yn
14
如果选取 h充分小，使得
hL 1, 2
则当 k 时有 收敛的.
yn(k1)，这说yn明1 迭代过程（2.8）是
15
9.2.3 单步法的局部截断误差与阶
初值问题(1.1)，(1.2)的单步法可用一般形式表示为
yn1 yn h(xn , yn , yn1, h),
（2.9）
其中多元函数 与 f (x有, y关)，当 含有 时，yn方1法
第9章 常微分方程初值问题数值解法
9.1 引 言
本章要着重考察的一阶方程的初值问题
y f (x, y),
y(
x0
)
y0 .
（1.1） （1.2）
只要函数 f (适x,当y)光滑——譬如关于 满足利y 普 希茨(Lipschitz）条件
f (x, y) f (x, y) L y y .
（1.3）
理论上就可以保证初值问题（1.1），（1.2）的解y y(x) 存在并且唯一.
1
所谓数值解法，就是寻求解 y在(x一) 系列离散节点
x1 x2 xn xn1
上的近似值 y1, y2 , , yn., y相n邻1,两 个节点的间距 hn xn1称为x步n 长.
如不特别说明，总是假定 hi h(i为定1,2数,，) 这时节点为 xn x0 nh(i . 0,1,2, )
h2 2
y(xn ) O(h3 ),
即为（2.3）的结果.
这里 h2
2
y(称xn为) 局部截断误差主
项. 显然 Tn1 O. (h2 )
18
定义2 设 y是(x初) 值问题(1.1)，(1.2)的准确解，若 存在最大整数 p使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足
Tn1 y(x h) y(x) h(x, y, h) O(h p1),
yn1
yn
h( yn
2 xn yn
).
取步长 h 0，.1计算结果见表9-1.
表9 1 计算结果对比
xn
yn
y(xn ) xn
yn
y(xn )
0.1 1.1000 1.0954 0.6 1.5090 1.4832
0.2 1.1918 1.1832 0.7 1.5803 1.5492
0.3 1.2774 1.2649 0.8 1.6498 1.6125
22
预测 校正
yn1 yn hf (xn , yn ),
yn1
yn
h 2
[
f
( xn
,
yn
)
f ( xn1, yn1)].
（2.13）
或表为下列平均化形式
y
p
yn
hf
(xn ,
yn ),
yc
yn
hf
( xn1,
y p ),
yn1
1 2
(yp
yc ).
23
例2 用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）. 解 改进的欧拉公式为
初值问题（1.1），（1.2）的数值解法的基本特点是 采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步 地向前推进.
描述这类算法，只要给出用已知信息 yn , yn1, yn2 , 计算 yn的1 递推公式.
首先，要对方程（1.1）离散化，建立求数值解的递
2
推公式. 一类是计算 y时n只1 用到前一点的值 ，称y为n 单步
是（2.3）.
如果在（2.4）中右端积分用右矩形公式 h f (xn1, y(xn1)) 近似，则得另一个公式
yn1 yn hf (xn1, yn1),
（2.5）
称为后退的欧拉法.
后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是 关于 yn的1 一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的；