八年级下册初二数学因式分解教案Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-因式分解【知识梳理】● 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积 例：111()333ax bx x a b +=+因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解： 因式分解的方法 ● 提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c ．小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

【基础练习】1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________．2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1B ．)11(22222xx x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）3．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．－3xyB ．－3x 2yC ．－3x 2y 2D ．－3x 3y 34．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ）A ．a n （1－a 3＋a 2）B ．a n （－a 2n ＋a 2）C ．a n （1－a 2n ＋a 2）D ．a n （－a 3＋a n ）5．把下列各式因式分解：5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 6．应用简便方法计算：（1）2012－201（2）×＋×－×（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当的式子：（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）； （2）=+c b ab 3294278（ ）（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝－2D ．m ＝－1，n＝－24．（－2）10＋（－2）11等于（ ）A ．－210B ．－211C ．210D ．－25．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．6．已知x ＋y ＝2，,21-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．● 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

● 平方差公式式子： ))((22b a b a b a -+=-语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当的式子：0．25m 4＝（ ）2； =n y 294（ ）2； 121a 2b 6＝（ ）2．【例题2】因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）；（3）49a 2－4＝（ ）（ ）；（4）2b 2－2＝（ ）（ ）．【基础练习】1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2B ．4491x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(412-+q p2．下列因式分解错误．．的是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1） C．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D ．)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 3．把下列各式因式分解：（a ＋b ）2－64m 4－81n 4 （2a －3b ）2－（b ＋a ）24．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092； （2）×512－×492． 5．已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．【提高练习】1．因式分解下列各式： （1）m m +-3161＝_____________________； （2）x 4－16＝_____________________；（3）11-+-m m a a ＝_____________________； （4）x （x 2－1）－x 2＋1＝_________________．2．把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）A ．0B ．16n 2C ．36m 2D ．24mn3．下列因式分解正确的是（ ）A ．－a 2＋9b 2＝（2a ＋3b ）（2a －3b ）B ．a 5－81ab 4＝a （a 2＋9b 2）（a 2－9b 2）C ．)21)(21(212212a a a -+=- D ．x 2－4y 2－3x －6y ＝（x －2y ）（x ＋2y －3）4．把下列各式因式分解：m 2（x －y ）＋n 2（y －x ） 3（x ＋y ）2－27 （3m 2－n 2）2－（m 2－3n 2）2 5．已知,4425,7522==y x 求（x ＋y ）2－（x －y ）2的值． 6．分别根据所给条件求出自然数x 和y 的值：（1）x 、y 满足x 2＋xy ＝35；（2）x 、y 满足x 2－y 2＝45．完全平方公式（1）式子：222222)(2)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 拓展：))(())((22332233b ab a b a b a b ab a b a b a +-+=+++-=-【例题】分解因式：22222222)2(22244)7(7724914-=+⋅⋅-=+-+=+⋅⋅+=++a a a a a x x x x x【变式练习】1．分解因式：41242++x x = ； 21449a a -+= ．2．因式分解244a a -+，正确的是( )A ．24(1)a a -+B ．2(2)a -C ．(2)(2)a a --D ．2(2)a +【注意】①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

【例】[]223)(9)(6)(-+=++-+n m n m n m②当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

【例】)2)(2(2)2(2)4(2822223-+=-=-=-x x x x x x x x x【变式练习】1．分解因式：222050x x -+= ． 2．分解因式：=-+--2)(9)(124y x y x ． 3．分解因式：2882x y xy y -+=___ ________． 4．分解因式：(a +b )3－4(a +b )=__________________________________________________．5．分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝_______________________________________________．6．因式分解：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【基础练习】1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（ ）2；（2）x 2－（ ）＋4y 2＝（ ）2； （3）a 2－5a ＋（ ）＝（ ）2；（4）4m 2－12mn ＋（ ）＝（ ）2 2．若4x 2－mxy ＋25y 2＝（2x ＋5y ）2，则m ＝__________． 3．将a 2＋24a ＋144因式分解，结果为（ ）A ．（a ＋18）（a ＋8）B ．（a ＋12）（a －12）C ．（a ＋12）2D ．（a －12）24．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）①9a 2－1； ②x 2＋4x ＋4； ③m 2－4mn ＋n 2； ④－a 2－b 2＋2ab ； ⑤;913222n mn m +- ⑥（x －y ）2－6z （x ＋y ）＋9z 2． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列因式分解正确的是（ ）A ．4（m －n ）2－4（m －n ）＋1＝（2m －2n ＋1）2B ．18x －9x 2－9＝－9（x ＋1）2C ．4（m －n ）2－4（n －m ）＋1＝（2m －2n ＋1）2D ．－a 2－2ab －b 2＝（－a －b ）26．把下列各式因式分解：a 2－16a ＋64 －x 2－4y 2＋4xy（a －b ）2－2（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）24x 3＋4x 2＋x7．计算：（1）2972 （2）8．若a 2＋2a ＋1＋b 2－6b ＋9＝0，求a 2－b 2的值．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）25（p ＋q ）2＋10（p ＋q ）＋1＝__________________________________________；（2）a n ＋1＋a n －1－2a n ＝__________________________________________； （3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________．2．如果x 2＋kxy ＋9y 2是一个完全平方公式，那么k 是（ ）A ．6B ．－6C ．±6D ．183．如果a 2－ab －4m 是一个完全平方公式，那么m 是（ ）A ．2161bB ．2161b -C ．281bD ．281b -4．如果x 2＋2ax ＋b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是（ ）A ．b ＝aB ．a ＝2bC ．b ＝2aD ．b ＝a 25．把下列各式因式分解：2mx 2－4mxy ＋2my 2 x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3 2341x x x -+ （m 2＋n 2）2－4m 2n 2x 2＋2x ＋1－y 2 x 2－2xy ＋y 2－2x ＋2y ＋1（a ＋1）2（2a －3）－2（a ＋1）（3－2a ）＋2a －3 6．若,31=+xx 求221x x +的值．7．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．8．已知x 3＋y 3＝（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）称为立方和公式，x 3－y 3＝（x －y ）（x 2＋xy ＋y 2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a 3＋8（2）27a 3－1分组分解法(拓展)①将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项) 形式：bn bm an am +++ 、 b a b a ±±-22等 步骤：1．分组 2．提取公因式【例题1】把多项式1ab a b -+-分解因式解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-【变式练习】因式分解：bc ac ab a -+-2②将多项式分组后能运用公式进行因式分解．(三一分项) 形式：2222c b ab a -+±【例题2】将多项式2221a ab b --+因式分解解：2221a ab b --+=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--【变式练习】因式分解：=-+-xy y x 22522 19622-+-y xy x 十字相乘法(拓展)形式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++(二次项系数为1)分析：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数。