卡丹諾公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
Hale Waihona Puke 23例一 解 x3 + 6x = 20
注意：m = 6、n = 20
x =
3
虛數
• 笛卡兒（RenéDecartes; 1596 1650） • 法國著名的哲學家 • 坐標幾何的創始人 • 1637 年，他稱一個負 數的開方為「虛數」 (imaginary number)。 • 但他不承認虛數是數 字的一種。
一大突破
• 棣美弗（Abraham de Moivre; 1667 1754）
怪傑
• 卡丹諾 (Girolamo Cardano; 1501 1576) • 一個多才多藝的學者 • 一個放蕩不羈的無賴 • 他精通數學、醫學、語 言學、天文學、占星學 • 一生充滿傳奇，人們稱 為他「怪傑」。
怪傑
• 1545 年，卡丹諾在 他的著作《大術》 （Ars Magna）中， 介紹了解三次方程 的方法。 • 從此，解三次方程 的方法，就被稱為 「卡丹諾公式」。
複變函數的引入
• 1748 年，歐拉發現了複指數函數和三角 函數的關係，並寫出以下公式： e ix = cos x + i sin x • 1777 年，在他的著作《微分公式》中， 首次使用 i 來表示 。 • 他創立了複變函數論，並把它們應用到 水力學、地圖製圖學上。
幾何解釋
• 1797 年，挪威數學家維塞爾（Caspar Wessel; 1745 1818）提出複數的幾何解釋。
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （無解） 2
虛軸
• 1806 年，法國數學家 a + bi = r (cos + i sin) 阿根（Jean Robert
r O 實軸
Argand; 1768 1822） 亦提出類似的解釋。 • 自此，人們亦稱複數 平面為「阿根圖」。
代數基本定理
• 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 1855） • 德國數學家，人稱 「數學王子」。 • 18 歲時，運用一些複 數運算原理，以尺規 畫出正十七邊形。 • 20 歲取得博士學位， 並成功地證明了「代 數基本定理」。
• 法國數學家，早期概 率理論著作者之一 • 最著名的成就，是發 現「棣美弗定理」， 把三角函數引入複數 運算之中。
複變函數的引入
• 歐拉（Leonhard Euler, 1707 1783） • 瑞士數學家。 • 13 歲入大學，17 歲取 得碩士學位，30 歲右眼 失明，60 歲完全失明。 • 著作非常多，深入每個 數學分支，對後世影響 深遠。
注意：m = 15、n = 4
x =
3
2 121 3 2 121 （無解）
但非常明顯，x = 4 是方程的一個解！
另闢蹊徑
• 韋達（Franç ois Viè te; 1540 1603） • 法國人，律師兼業餘數 學家。 • 在三角學、代數學、方 程理論及幾何學都有傑 出貢獻。 • 1591 年，利用恆等式 cos3A = 4cos3A 3cosA， 解三次方程。
10 108 3 10 108
= 2
卡丹諾公式
解方程 x3 = mx + n 。 公式： x =
3
n n m + 2 3 2
2
3
3
n n m 2 3 2
2
3
例二 解 x3 = 15x + 4
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例二 解 x2 + 4x + 10 = 0
注意：a = 1、b = 4、c = 10
4 (4) 2 4(1)(10) x 2(1) 4 24 （無解） 2
複數誕生的故事
中六教學版
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
例一 解 5x2 9x 18 = 0
注意：a = 5、b = 9、c = 18 ( 9) ( 9) 2 4(5)( 18) x 2(5) 6 9 441 = 3 或 5 10
複數名稱的確立
注意：
• 定義
36 36 1 6i
• i 1 = i , i 2 = 1 , i 3 = i , i 4 = 1 • i 4n + 1 = i , i 4n + 2 = 1 , i 4n + 3 = i , i 4n + 4 = 1
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
複數名稱的確立
• 複數 z 是一種可以表示為 a + bi 形式的數， 其中 a 和 b 都是實數，i = 1 。 • 我們稱 a 為複數 z 的「實部」， 記為 Re(z)。 • 又稱 b 為複數 z 的「虛部」，記為 Im(z)。 • 若 a = Re(z) = 0，則稱 z 為 「純虛數」。 • 若 b = Im(z) = 0，則稱 z 為 「純實數」。
先從二次方程談起…
解方程 ax2 + bx + c = 0；其中 a 0。 公式：
b b 4ac x 2a
2
• 此公式早於公元前四百年，已被巴比倫 人發現和使用。 • 在中國的古籍《九章算術》中，亦有提 及與二次方程有關的問題。
由二次方程到三次方程
• 由於實際應用上的需要，亦由於人類求 知慾的驅使，很自然地，人類就開始尋 找三次方程的解法。 • 即尋找方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 一般根 式解。 • 很可惜，經過了差不多二千年的時間， 依然沒有很大的進展！