最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对
角矩阵,
其对角线元素依次为
1 |βi
|
,
.
.
.
,
1 |βt |
.
于是,
(γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD.
因为 CD 是上三角矩阵, 且对角线元素是正数, 所以 CD 可逆. 于是, (γ1, . . . , γt)
显然,α 与 β 正交当且仅当 βH α = 0 当且仅当 αH β = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组.
命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组.
107
108
第五章 方阵的标准形
证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且
按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量
组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组.
命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令
β1 = α1,
β2
=
α2
−
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0.
定义 4.2 令 |α| = (α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组
第五章 方阵的标准形
§5.1
§5.2
§5.3
§5.4 Schmidt 正交化
本节介绍把向量几何化的方法, 以便于进行形象思维及处理更广泛的问题. 在本节, 设所考虑的数域为复Байду номын сангаас域或实数域.
定义 4.1 设 α = (a1, a2, . . . , an)T , β = (b1, b2, · · · , bn)T 都是 n 元列向量, 规定
对 1) 中的分解取共轭转置再取逆可得 2), 取逆可得 3), 取共轭转置可得 4). 当 A 是实矩阵时, A = A.
习题
1. 用 Schmidt 正交化方法将向量组 (1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 1, 2) 规范正交化. 2. 设矩阵 A, B 的列向量组都是规范正交的, 如果 A, B 可乘, 则 AB 的列向量组也是规
α1 = β1,
α2
=
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
β1
+ β2,
·································
αt
=
(αt (β1
,β1 ,β1
) )
β1
+
(αt (β2
,β2 ) ,β2 )
β2
+···+
β (αt ,βt−1 )
(βt−1 ,βt−1 )
t−1
+ βt,
(βk+1,
βj )
=
(αt,
βj )
−
k i=1
(αk+1, βi (βi, βi)
)
(βi,
βj )
=
(αk+1,
βj )
−
(αk+1, βj (βj, βj)
)
(βj
,
βj )
= 0.
§ 5.4 Schmidt 正交化
109
其次证明向量组 β1, . . . , βt 与向量组 α1, . . . , αt 等价. 因为
是正交组, γ1, γ2, . . . , γt
是规范正交
组, 并且它们都与向量组 α1, α2, . . . , αt 等价.
证明 首先证明 β1, . . . , βt 是正交组. 对向量个数 t 用数学归纳法. 当 t = 1 时, 结论显然成立. 假设 t = k > 1 时结论也成立. 现在设 t = k + 1, 我们只需证 明 βk+1 和每个 βj 都正交, 1 ≤ j ≤ k. 实际上,
a1α1 + a2α2 + · · · + asαs = 0.
用 α1 做内积可得, a1(α1, α1) + a2(α2, α1) + · · · + as(αs, α1) = 0. 由正交性可得 a1(α1, α1) = 0. 由 α1 = 0 知 α1H α1 = 0, 故 a1 = 0. 类似地可证 a2 = a3 = · · · = an = 0.
根 λ1 一个特征向量.
令
ξ1
=
α |α|
,
则
ξ1
是单位向量,
并且仍为属于
λ1
的特
征向量. 取 η2, . . . , ηn 使得 (ξ1, η2, . . . , ηn) 为可逆矩阵. 对向量组 ξ1, η2, . . . , ηn
进行 Schmidt 正交化可得规范正交组 ξ1, ξ2, . . . , ξn. 每个 n 元列向量均可由
AT = A(ξ1, . . . , ξn) = (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B = T B,
从而 T H AT = B. 将 B 分块,
B = λ1 ∗ . 0 A1
则 A1 为 n − 1 阶矩阵, 而且 |λI − B| = (λ − λ1)|λI − A1. 因此, λ2, . . . , λn 是 A1 的全部特征值. 由归纳假设有 n − 1 阶酉矩阵 T1 使 T1H A1T1 为上三角矩阵, 且对角线元素依次为 λ2, . . . , λn. 令
ξ1, . . . , ξn 线性表示, 特别地, 向量组 Aξ1, . . . , Aξn 也可由其线性表示. 有矩阵 B
§ 5.5 正规矩阵的标准形
111
使得 (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B. 因为 Aξ1 = λ1ξ, 故 B 的第一列除第一行 为 λ1 之外, 其余元素均为 0. 令 T = (ξ1, . . . , ξn), 则 T 为酉矩阵, 而且
证明 我们只证明最后一个结论. 设 A = (aij) 是一个正线上三角酉矩阵, 则 AH = A−1, 而且 AH 是下三角矩阵, A−1 是上三角矩阵, 所以 A 必为对角矩阵, 而且 aii = a−ii1. 因为 aii > 0, 所以 aii = 1, 从而 A 必为单位矩阵.
定理 4.1 (QR 分解) 设 A 是一个可逆矩阵, 则
习题
1. 设 A 是方阵，互换 A 的第 i 行和第 j 行，再互换 A 的第 i 列和第 j 列，则所得矩阵
与 A 酉相似.
2. 设 Ai 酉相似于 Bi, i = 1, 2, 则
A1 0 0 A2
酉相似于
B1 0 0 B2
.
§5.5 正规矩阵的标准形
§5.3 讨论了方阵的 Jordan 标准形. 在本节中我们将研究可以酉相似于对角 矩阵的矩阵, 它们的标准形也同样有着深刻的背景和重要的应用.
范正交的. 3. 证明矩阵 A 的属于特征根 λ 的一组线性无关的特征向量经 Schmidt 正交化以后仍为
属于 λ 的特征向量.
定义 4.4 设 A, B 是两个 n 阶矩阵, 若有酉矩阵 U , 使 U H AU = B, 则称 A 与 B 酉相似.
酉相似是一个等价关系. 酉相似的矩阵一定是相似的.
1) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线上三角矩阵之积;
2) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线下三角矩阵之积;
3) A 可唯一地分解成一个正线上三角矩阵和一个酉矩阵之积;
110
第五章 方阵的标准形
4) A 可唯一地分解成一个正线下三角矩阵和一个酉矩阵之积.
进一步, 若 A 是可逆实矩阵, 则上面的分解中矩阵可取作实矩阵.
证明1) 设 A 是一个可逆矩阵, 则由命题 4.4, 有正线上三角矩阵 π 使得 Aπ 是酉矩阵. 令 Q = Aπ, R = π−1, 则 A = QR, 且 Q 是酉矩阵, R 是正 线上三角矩阵. 设 A = Q1R1 是 A 也是 A 的 QR 分解, 则 QR = Q1R1, 从而 Q−1Q1 = RR1−1, 这是一个正线上三角酉矩阵, 所以是单位矩阵. 于是, Q1 = Q, R1 = R, 故分解唯一. 进一步, 设 A 是实矩阵. 由 A = QR 可得 A = A = QR = QR, 这仍为 A 的 QR 分解. 由分解唯一性可知, Q = Q, R = R, 故 Q, R 都是实矩阵.
U =T 1 0 , 0 T1
则 U 为酉矩阵, 且有
U H AU = = =
10 0 T1
H
T H AT
10 0 T1
10
λ1 ∗
10
0 T1H
0 A1
0 T1
λ1
∗∗
,
0 T1H A1T1
这最后矩阵是上三角矩阵, 而且对角线元素依次为 λ1, . . . , λn. 通过取转置可得 出下三角情形的结论.
定理 4.2 (Schur 三角化定理) 设 A 是 n 阶矩阵, λ1, . . . , λn 是 A 的全部 特征值, 则 A 酉相似于一个上 (下) 三角矩阵, 其对角线元素依次为 λ1, . . . , λn.
证明 对矩阵阶数用数学归纳法. 对于一阶矩阵结论显然成立. 假设对于