1

x(n) bnu(n 1)zn bnzn bnzn
n
n
n1
b1z (b1z)2 (b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(
z
)


1
b
1 z b1z
Rx z Rx
反：x(n) 1
2j
X (z)zn1dz,
c
c (Rx , Rx )
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：

X (z) Z[x(n)] x(n)zn n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
z e jT
z eST , S j
x (n)
.
x(n), x(n) 0,
n1 n n2 其他n
.
.
n1 0
n2
n2
X (z) x(n)zn ,若 x(n)zn ，n1 n n2; nn1
考虑到x(n)是有界的，必有 zn ，n1 n n2;
因此，当n 0时，zn 1/ z n ,只要z 0，则 z n 同样，当n 0时，z n z n ,只要z ，则 z n 所以收敛域0 z 也就是除z 0, z 外的开域(0, 即所谓“有限z平面”。
j Im[ z]
z zb
收敛域： z b
Re[ z] b
*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z 1[ X (z)]
z变换公式：

正：X (z) x(n)zn , n
收敛,那么,满足n0≤0 |z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
j Im[ z]
Re[ z]
z

同样,对于级数 x(n) z n ，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z]
Re[ z]
z
(2).有限长序列
j Im[ z]

Re[ z]
3. 右边序列
x(n)
x(n)

x(n), 0,
n n1 n n1
..
...
n1 0 1
n

1

X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
n n2 n n2

n2
X (z) x(n)z n
n
0
n2
x(n)z n x(n)z n
n
n1
0 nn 2
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为0 z Rx ; Rx为最大收敛半径 . 故收敛域为0 z Rx
q az 1,
S a1 1 q
1 1 az 1

z。 za
z a为极点，在圆 z a 外，
X (z)为解析函数，故收敛。
收敛域：z a
j Im[ z]
0 a Re[ z]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) bnu(n 1) 变换及收敛域。
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
j Im[ z]
收敛域
Re[ z]
Rx
(4)因果序列
x(n)

x(n), 0,
n0 n0
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为： Rx z
(5)左边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析[ z]
z Rx
(6)双边序列
x

0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。


1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx 第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx 当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
二.收敛域
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域.
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

即： x(n)z n M n
3.一些序列的收敛域 (1).预备知识
阿贝尔定理:

如果级数 x(n) z n ，在 z z ( 0)
j Im[ z]
Re[ z]
Rx Rx
[例2-1] 求序列 x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 n2 0 时的有限长序列，

Z[ (n)] (n)Z n Z 0 1 n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
[例2-2] 求序列 x(n) anu(n) 的Z变换及收敛域。
解：
X (z)



a nu(n)z n a n z n (az 1 )n
n
n0
n0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。