2020~2021学年度第一学期赣州市十五县(市)
十六校期中联考高三数学(理科)试卷
命题人：大余中学 审题人：赣州一中
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2
230,A x x x x =--≤∈Ζ，集合{}
0B x x =>，则集合A
B 的元素个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a << 4．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、
“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过( )次检测．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．函数()21x
x f x e
-=
的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．要得到函数cos y x =的图象，只需将函数sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上所有的点的( ) A ．横坐标缩短到原来的
12(纵坐标不变)，再向左平移8π
个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移4
π
个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移
8
π
个单位长度
D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移4
π
个单位长度 7．在ABC ∆中，1CA
=，2CB =，
2
3
ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( )
A ．0
B ．2
C ．23
D ．4
8．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是
最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一
个黄金三角形ABC 中，51
BC AC -=
，根据这些信息，可得sin234︒=( ) A ．1254- B ．358+- C ．15
+- D ．458+-
9．已知()sin 3cos f x x x ωω=+(0>ω)在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围是( )
A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．2260,7,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
C ．26507,,1933⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
D ．2500,,1933⎛⎤⎡⎤
⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
10．函数()f x 的导函数()f x '，对任意x ∈R ，都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则满足不
等式
()x f x e >的x 的取值范围是( )
A ．()1,0
B ． ()+∞,1
C ．()2ln ,0
D ．()+∞,2ln
11．已知函数()()1,0ln 6
sin 2≠>-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=a a a x x a x f x
且π，对任意[]12,0,1x x ∈，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值是( )
A ．e 2
B ．e
C ．3
D ．2
12．已知函数1
,0(),0x x m
f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩
，关于x 的方程2
3()(23)()20mf x m f x -++=有以下结论：①存在实数m ，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m ，使方程有4
个解；④当方程有5个解时，实数m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．其中正确结论的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．设函数
2
()f x ax
b =+(0a ≠)，若
()()3
3f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．
14．已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =．若向量a 与向量kb c +共线，则实数k =_________．
15．已知命题p ：2
,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数()1
13m f x x +-=在()0,+∞是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________．
16．已知函数
()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，
且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈
+∞时，实数b 的最大值是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．(满分12分)已知函数()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0．
(1)求常数a ，b 的值； (2)求()f x 在区间[]4,0-上的最值．
18．(满分12分)在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 3b A a B π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． (1)求角B 的大小； (2)求c
a
的取值范围．
19．(满分12分)已知函数()21
sin sin cos 2
f x x x x =+-，x ∈R ． (1)求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；
(2)若()26
f α=
，3,88ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，求sin 2α的值．
20．(满分12分)设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，
则称0x 是
()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知
()()12
log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈．
(1)若1a =，求函数()f x 的准不动点；
(2)若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围．
21．(满分12分)已知函数()ln 1f x x x =++，()22g x x x =+．
(1)求函数()()()h
x f x g x =-在()()1,1h 处的切线方程；
(2)若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑． 22．(满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x t
C y t
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
(1)求曲线1C 的极坐标方程； (2)已知点()2,0M
，直线l 的极坐标方程为6
π
θ=
，它与曲线1C 的交点为,O P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积．
23．(满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知
()11f x x ax =+--．
(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．。