9.1 空间几何体三视图一．空间几何体的分类：多面体和旋转体二．多面体的概念及性质1.棱柱的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台【套路秘籍】---千里之行始于足下侧面的形状对角面的形四．空间几何体的三视图1.三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等五．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.考向一已知几何体识别三视图【例1】将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )'''X OY【答案】 B【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故选B.【举一反三】1．如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）A B ．C ．12x x D ．4【答案】B【解析】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形的边长为2，又三棱柱的高为2，即侧视图的长为2，所以三棱柱侧视图的面积为故选B 2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )【答案】 D【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.考向二已知三视图选几何体【例2】如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得：该几何体为一个圆锥与圆柱组合而成；故选D【套路总结】【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A ．242+B ．4+CD ．22【答案】C正视图的高即为侧视图的高，所以侧视图的面积为：122⨯=C ． 考向三 三视图知二选三【例3】 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为B ，故选B.【举一反三】1、一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为( )【答案】 C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，∴A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，∴B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，∴D有可能．2.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A. B. C. D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 是边长为√2的正方形，PA ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．考向四 三视图的运用【例4】一个动点从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到定点1C 位置，共有6种展开方式，若把平面11ABA B 和平面11BB C C 展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过1BB 的中点，故此时的正视图为②；若把平面ABCD 和平面11CDD C 展到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过CD 的中点，此时的正视图为④其中其它几种展开方式所对应的正视图在题中没有出现或已在②④中，故选C.【举一反三】1．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧,该几何体的表面上的点M 在正视图上的对应点为A （中点），几何体的表面的点N 在正视图上的对应点为B ，则在此几何体的侧面上从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）。

A B C D【答案】B【解析】该几何体的原图是，一个边长为2的正方体，挖去了14圆柱，圆柱的底面半径为2，底面圆心为正方体的顶点，如图：A 点和B 点都在圆柱面上，从A 到B 从圆柱面上经过时，距离最短，将两点所在的曲面展开得到一个长方形，AB 的距离即为长方形的对角线，长为圆柱的上下圆面的圆周的14，宽为1，AB 故答案为：B.考向五 直观图【例5】已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 【答案】22【解析】 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.【举一反三】1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2【答案】D【解析】由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示， ∴这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2＝8＋42，故选D.2．利用斜二测画法画平面内一个△ABC 的直观图得到的图形是A B C '''，那么A B C '''的面积与△ABC 的面积的比是（ ）【解析】将'''A B C 放入锐角为45∘的斜角坐标系'''x o y 内,如图(1)所示，过'C 作''''C D A B ⊥,垂足为'D ， 将其还原为真实图形,得到图(2)的ABC ， 其中''''2''OA O A AB A B OC O C ===，，，在''OC D 中, ''45CD O C sin ==︒,即''CD C ==， ∴△ABC 的高等于OC由此可得△ABC 的面积12S AB OC =⋅， ∵直观图中'''A B C的面积为12S AB =，∴直观图和真实图形的面积的比值等于4，故选：A1.某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项B 符合题意，故选B.2．如图，ΔO ′A ′B ′是水平放置的ΔOAB 的直观图，则ΔOAB 的面积是（ ）A. 6B. 3√2C. 6√2D. 12 【答案】D【解析】由直观图画法规则，可得ΔAOB 是一个直角三角形，直角边OA =OA ′=6,OB =2O ′B ′=4，∴S ΔAOB =12OA ⋅OB =12×6×4=12，故选D.3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④ 【答案】B【解析】P 点在上下底面投影落在AC 或11A C 上，所以PAC ∆在上底面或下底面的投影为①，在前面、后面以及左面，右面的投影为④，选B.4．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 、F 、G 分别为C 1D 1、AA 1、BB 1的中点，则空间四边形EFBG 在正方体下底面ABCD 上的射影面积为（ ）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】设边DC 的中点为H ，由题意可得，点E,F,B,G 在底面上的射影分别为点H,A,B,B ，因此空间四边形EFBG 在正方体下底面ABCD 上的射影为HAB ∆，其面积为111122S =⨯⨯=．选B 5.一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【答案】 D【解析】 由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1展开到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过BB 1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD 和平面CDD 1C 1展开到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过CD 的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】 C【解析】 画出直观图，共六块．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：BC BCD ACD为直角三角形，ABD为正三角形故选：C由正方体的性质得A,,8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）AB ．12x x C．D ．3【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，//21AD AB AD BC AD AB BC ⊥===、，、，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥最长棱的棱长为3PC ==，故选：D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A．BC ．92D【答案】B【解析】由题意可知几何体的直观图如图所示，该几何体是三棱锥A BCD -是正方体的一部分，正方体的棱长为3， 点A 是EF 上靠近F 的三等分点，故AB =BD =AD ==，CD=CB=，CA=33故选：B．10．下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是（）A．0②B．①0 C．①④D．②④【答案】D【解析】分析题中简单几何体可知，②④中几何体的正视图和侧视图相同.故选D11．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形【答案】A【解析】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.12．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由三视图可得，该四棱锥如下图的P－ABCD，直角三角形有：△PAD、△PCD、△PAB，共3个.故选：C.13．某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（ ）AB ．12x x C ．2 D ．3【答案】D【解析】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥1A ABDM -，其中正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱BC 的中点，很明显112ABA ADA S S ==△△，1112MBA S =⨯⨯=△由于11AM MD A D ===故1cos 5M A D ∠==，1sin 5M A D ∠=11332A MD S =⨯=△，则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3.故选：D.14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长度为（）A．3 B．4 C．2√2D．2√3【答案】D【解析】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为边CD的中点，则题中的三视图所对应的几何体为四棱锥A1−ABCM，易知其棱长分别为：AB=AC=AA1=2,AM=√5，A1B=2√2,A1M=3,A1C=2√3，则最长的棱长为A1C=2√3.故选：D.15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（）A．B．6C．D．【答案】B【解析】作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE是直角梯形， DE∥BC，BC⊥BE，DE⊥面ABE，AE⊥BE，且AE＝BE＝DE＝4，BC＝2，∴AD＝AB＝，AC＝6，CD ，∴AC为四棱锥的最长棱．故选：B．16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由三视图可得直观图如下图所示：由三视图可知：PD⊥平面ABCD∴PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥AB又PD=AD=2，PD=DC=2∴ΔPAD和ΔPDC为等腰直角三角形又PD⊥AB，AD⊥AB∴AB⊥平面PAD∴AB⊥PA又AB=1，PA=√4+4=2√2∴ΔPAB不是等腰直角三角形∵PB=√12+22+22=3，BC=√12+22=√5，PC=√22+22=2√2∴ΔPBC不是等腰直角三角形综上所述，侧面为等腰直角三角形的共有2个本题正确选项：B 17．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】正方体的三视图都相同，都是正方形，球的三视图都相同，都为圆面．所以选D. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．18．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A ．2B ．1C ．32D ．52【答案】C【解析】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ．19．某几何体的三视图如图所示，该几何体各个面中，最大面积为（ ）A ．B ．10C ．D ．【答案】B【解析】通过三视图可知该几何体是三棱锥，是长方体的一角，如下图所示：14362ABC S =⨯⨯=△，14482PAB S ∆=⨯⨯=，132PBC S ∆=⨯⨯=，145102PAC S ∆=⨯⨯=；故最大面积为10，本题选B.20．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】C【解析】根据题意，该三棱锥的原图为如图的S-ABC ，其中SD 在俯视图中投成了一个点， 故SD ⊥平面ABCD （ABCD 为俯视图的四个顶点），DE 平行于正视的视线，故DE ⊥BC ， 根据题意，知DE=BE=SD=2，所以SB 为最长的棱，因为BD ⊂ABCD ，∴SD ⊥BD ，∴228BD DE BE =+=，则SD ==故选：C ．21．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，A中的视图满足作图法则；B中的视图满足作图法则；C中的视图不满足锥体的顶点在左前方；D中的视图满足作图法则，故选C。