.8.3 谐振法测量阻抗一、谐振法测量阻抗的原理谐振法是利用LC串联电路和并联电路的谐振特性来进行测量的方法。

图氏3—1(a)和(b)分别画出了LC 串联谐振电路和并联谐振电路的基本形式，图中电流、电压均用相量表示。

.图8.3—1 LC串、并联谐振电路的基本形式.0 0当外加信号源的角频率①等于回路的固有角频率 ①。

时，即1LC（8.3-1）时，LC 串联或并联谐振电路发生谐振，这时L1 2CC1 2 L（8.3-2）（8.3-. 3）.由式(8．3-2)和(8．3-3)可测得L或C的参数。

对于图8．3-1(a)所示的LC串联谐振电路，其电流为I&RU&j(L −1)C（8.3-4）电流I&的幅值为IR2 Us(L−1 )2C（8.3-5）.当电路发生谐振时，其感抗与容抗相等，即 0 L 1 / 0C，回路中的电流达最大值，即II 0U s R此时电容器上的电压为UU1 I1 U & sQU（8.3-6）cc 0式中Q1 0CRCL R.C R s（8.3-7）.2由式(8，3-5)得IU s（8.3-8）⎛ 2L ⎛ ⎛ ⎛ R 1 ⎛⎛0 ⎛ ⎛ − 0⎛ R ⎛⎛ 0 ⎛由于谐振时电流U s I 0R，回路的品质因数 QL，R故式(8．3-8)改写为I1 I 0⎛1 Q 2⎛2 −⎛.（8.3-9）⎛0⎛.在失谐不大的情况下，可作如’下的近似−2− 2 (0 )( − 0)这样，式(8．3-9)可改写为II 01 Q 21⎛ 2( ⎛2− 0 )⎛ ⎛（8.3-10）.⎛0⎛.调节频率，使回路失谐，设2和1分别为半功率点处的上、下限频率，如图8．3-2所示。

此时，I / I0 1/ 20.707，由式(8．3-10)得Q 2(2−0 )1（8.3-11）由于回路的通频带宽度，故由式(8．3-11)得Bf2−f12f2−.f 0Qf 0Bf 0f 2 −f 1（8.3-12）.由式(8．3-12)可知，只需测得半功率点处的频率f2、f1和谐振频率f0，即可求得品质因数Q。

这种测量Q值的方法称为变频率法。

由于半功率点的判断比谐振点容易，故其准确、度较高。

.图8.3—2 变频时的谐振曲线.图8.3—3 变容时的谐振曲线.设回路谐振时的电容为C 0，此时若保持信号源的 频率和振幅不变，改变回路的调谐电容。

设半功率点 处的电容分别为C 1和C 2，且C 2>C 1，变电容时的谐振曲线如图8．3—3所示。

类似于变频率法，可以推得Q2C 0（8.3-13）C 2 −C 1由上式可求得品质因数Q 。

这样测量Q 值的方法，称为变电容法。

.二、Q表原理Q表是基于LC串联回路谐振特性基础上的测量仪器，其基本原理电路如图8.3—4所示。

采用电阻耦合法的Q表原理图如图8.3—5所示。

.图8.3—4 Q表原理.图8.3—5 电阻耦合法Q表原理图.Q U co（8.3-14）Ui若保持回路的输入电压U i大小不变，则接在电容C两端的电压表就可以直接用Q表值采标度。

若使V减少一半，由式(8．3—工4)可知，同样大小的U co所对应的Q值比原来增加一倍，故接在输入端的电压表可用作Q值的倍乘指示。

实际的Q表，电压U i和U c的测量是通过一个转换开关而用同一表头来完成的，如图8．3—4 所示。

.图8.3—6 电感耦合法Q表原理图.三、元件参数的测量利用Q表测量元件参数的简单方法是将被测元件直接跨接到测试接线端，称为直接测量法。

图8．3—5和图8．3—6也是直接测试电感线圈的原理图。

通过调节信号源的频率或调节回路的可变电容，使回路发生谐振，由电容器两端的电压表可直接读出Q值，然后乘上倍乘值即可得到电感线圈的Q值。

.由于Q表中测量回路本身的寄生参量及其他不完善性对测量结果所产生的影响，称为残余效应，由此而导致的测量误差，称为残差。

由于直接测量法不仅存在系统测量误差，而且存在残差的影响，因此一般采用比较法进行测量，它可以比较有效地消除系统测量误差和残差的影响。

比较法又分为串联比较法和并联比较法，前者适用于低阻抗的测量，后者适用于高阻抗的测量。

.图8.3—7 串联比较法原理图.当电感线圈的电感量较小或电容器的电容量很大时，属于低阻抗测量，需要采用图8．3—7所示的串联比较法测量元件参数。

图中L K为已·知的辅助线圈，Z M RMjXM为其损耗电阻R H为被测元件阻抗。

由于电阻R H很小，故在讨论中忽略其影响。

首先用一短路线将被测元件Z M短路，调节电容C，使回路谐振。

设此时的电容量为C l，被测得的品质因数为Q1。

根据谐振时回路特性，得XL KXC1或L X1C1（8.3-15）.Q1 L KRK1或RKC1RK1Q1C1（8.3-16）.C L M然后断开短路线，被测元件Z M 被接入回路。

保持 频率不变，调节电容器C ，使回路再次谐振。

设此时的 电容量为C 2，品质因数为Q 2，回路中的电抗满足X X X K2（8.3-17）X 1 / C 1由于 ，故式(8．3—17)可改写为LXXX− X1−1C 1 − C 2（8.3-18）MC 2L KCCC C211 2. 回路的品质因数1Q2 或(R KRM)C2R K R M故1RM1Q2C2−1C1Q1−Q2C2Q2C2Q1C1C1C2Q1Q2（8.3-. 19）.若被测元件为电感线圈，X M 为感性，必有X M >0。

由式(8.3—lg)可知，此时C 1>C 2，并求得LC 1−C 2（8.3-20）M2C C 1 2线圈的品质因数可由式(8.3—18)和式(8.3—19)求得，即X MQ MQ 1Q 2 (C 1− C 2 )（8.3-21）R MC 1Q 1 − C 2C 2.若被测元件为电容器，X M为容性，必有X M<0。

由式(8．3-18)可知，此时C2>C1，XM由式(8．3'-18)求得−1/C M ，C M C1C2(8.3-22) C2−C1其Q值的计算公式与式(8．3—21．)相同。

若被测元件为纯电阻，则C l＝C2＝C0，由式(8．3—19)可求得其阻值为.R MQ 1 −Q 2(8.3-23)C 0Q 1Q 2.测量电感量较大的电感器和电容。

量较小的电容器等高阻抗元件需要采用并联比较法测量元件参数，其原理图如图8.3—8所示。

首先不接被测元件，调节可变电容C，使电路谐振。

设此时电容量为C1，品质因数为Q 1，则LK1C1(8.3-24)Q1 L KRK1RKC1(8.3-25).C X然后将被测元件并接在可变电容C 的两端。

保持信 号源频率不变，调节电容C ，使回路再次发生谐振。

设 此时的电容量为C 2，品质因数为Q 2，回路中的电抗满足X X X2 ML KC 2 X M将式(8．3—24)代入上式，可解得1 X M(8.3-26)(C 1 − C 2 ).图8.3—8 并联比较法原理图.2若被测元件是电感，X ML M，由上式解得L M1 (C 1− C 2 )(8.3-27)若被测元件是电容，X M1 /C M，由式(8．3—26)解得C M C 1−C 2(8.3-28)谐振时，并联谐振回路的总电阻R F 为.KR TQ 2 X LQ 2X C 1Q 2C 1(8.3-29).2令GT1 / R T 为回路的总电导，GM1 /RM为被测阻抗的电导，G K为辅助线圈的电导，G R KK R2X 2即G TGM GK，由于K，得L KG M G T −GK(8.3-30)或1C1 R K2C1 −1 1R M Q2RKXLQ2RK⎛L⎛K 1. ⎛K ⎛≈C 1 Q −1R Q 2⎛RK⎛2 K 1.式(8．3-25)代入上式，得由上式解得1C 1 R M Q 2−C 1Q 1R MQ 1Q 2（8.3-31）C 1 (Q 1 − Q 2 )由式(8．3-26)和式(8．3-31)，求得被测元件的Q 值为R MQ M(C 1−C 2 )Q 1Q 2（8.3-32）.X M C 1 (Q 1 − Q 2 )若被测元件为纯电阻，则由式(8.3-31)可求得其电阻值。

.C采用谐振法测量电感线圈的Q 值，其主要误差有： 耦合元件损耗电阻(如R H )引起的误差，电感线圈分布电 容引起的误差，倍率指示器和Q 值指示器读数的误差， 调谐电容器C 的品质因数引起的误差以及Q 表残余参量 引起的误差。

为了减少测量中的误差，需要选 择优质 高精度的器件作为标准件，例如调谐电容器应选择介 质损耗小、品质因数高、采用 石英绝缘支撑的空气电 容器。

另一方面，可根据测量时的实际情况，对测量 的Q 值作些修正，例如，若线圈的分布电容为C M ，那 么真实的Q 值为QQ ⎛ C C M ⎛e ⎛. ⎛（8.3-33）.四、数字式Q 表原理构成数字式Q 表的方法有多种，这里仅介绍衰减振 荡法构成Q 表的原理，其框图如图8．3—10所示。

当脉冲电压作用于RLC 串联振荡回路时，在欠阻尼 情况下，回路中的电流为− R ti I m e 2 LcosdtI m e−dt 2Qcosdt. （8.3-37）.图8.3—10 衰减振荡法测Q原理图.e式中d1 − (LCR )2 2L为回路电流i 的衰减振荡角频率，其波形如图8.3—11所示。

由图可知，电流的幅值是按指数规律衰减 的，即I I−dt 2Qm.m设t 1和t 2时刻电流i 的幅值分别为dI 1− t 1 I e2Qd和 I 2Im− t 2 e 2Q则I 1I 2− d ( t 2 −t 1 )e2Q.图8.3—11 电流i的波形。