解答： 3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？ 解答： 3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？ 解答：王矜奉 3.1.17，中南大学 3.1.17）
参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热学波,
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.
3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答：（王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4）
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加.
（2）与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成
的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不
符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力
验证(《固体物理学》§3.1 与§3.6). 玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与
3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答：（王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7）
设温度 TH>TL, 由于( 子数目.
)小于(
), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？
频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
2
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为
作变量代换
. ，
. 其中 是德拜温度. 高温时,
, 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答：（王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6）
频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
3
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
)大于(
), 所以在温度一定情况
理论相符的事实说明, 玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.4 试说明在布里渊区的边界上 ( q = π / a)，一维单原子晶格的振动解 xn 不代表行波而代表驻波。
解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3）
倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
1
第三章 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.
晶体振动和晶体的热学性质
由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难.
(1) 其中 m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为
, (2)
. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
,
(4)
由于
.
(5)
=
，
则由(4)(5)两式可得, B A = 1. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由《固体物理学》第 79 页公式，可得两原子振幅之比
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N.
3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而 hv 代表一个声子。因此，对于一
给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5）
, 上式简化为
.
以上两式中
是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
是合理的.
, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献
从声子能量来说, 光学波声子的能量 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.