实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。

二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。

2.实验内容原系统如图1-2所示。

图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。

图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。

(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。

状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。

三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()((1-2)式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。

若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能控性判别式为：[]nB A AB BRank RankQ n c ==-1（1-3）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。

状态能观测性判别方法也分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：[]n CA CA CRank RankQ Tn o ==-1（1-4）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。

已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。

实现的方式不唯一，实现也不唯一。

其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。

2、状态反馈极点配置一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。

极点配置有两种方法：①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K ；②基于Carlay-Hamilton 理论，它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A Φ的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。

五、程序源代码 1.>> num=[1 -1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b) Qc =1 -10 73 0 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 -11 -1 0-11 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 0];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 01 0 0-10 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 11 1 0-9 -27 -18>> rank(Qo)ans =22.>> a=[6.666 -10.667 -0.333;1 0 1;0 1 2];b=[0 1 1]';c=[1 0 2]; >> Qc=ctrb(a,b)Qc =0 -11.0000 -84.99201.0000 1.0000 -8.00001.0000 3.0000 7.0000>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =1.0000 02.00006.6660 -8.6670 3.667035.7686 -67.4392 -3.5528>> rank(Qo)ans =33.>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =-10 -27 -181 0 00 1 0B =1C =0 1 1D =>> [Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D) 1 state removed.Am =-17.2017 -8.567718.5677 8.2017Bm =0.5774-0.5774Cm =1.0000 1.0000Dm =4.(1)>> A=[-1/1 10/1;-1 0];B=[0;1];C=[1 0]; >> p=[-5+sqrt(-75);-5-sqrt(-75)]p =-5.0000 + 8.6603i-5.0000 - 8.6603i>> k=place(A,B,p)k =8.1000 9.0000>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)num =0 0.0000 10.0000den =1.0000 1.0000 10.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >> [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D)num =0 0 10.0000den =1.0000 10.0000 100.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid;(2)>> A=[-1/0.05 1/0.05;-1 0];B=[0;1];C=[1 0];>> p=[-7+sqrt(-51);-7-sqrt(-51)]p =-7.0000 + 7.1414i-7.0000 - 7.1414i>> k=place(A,B,p)k =10.0000 -6.0000>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)num =0 0 20den =1 20 20>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >> [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D)num =0 0.0000 20.0000den =1.0000 14.0000 100.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid;六、实验数据、结果分析1.（1）系统能观，能控（2）系统能观，能控（3）系统能观，能控2.系统能观，能控3.Am =-17.2017 -8.567718.5677 8.2017 Bm =0.5774-0.5774Cm =1.0000 1.0000 Dm =4.（1）状态反馈前状态反馈后（2）状态反馈前状态反馈后思考题：1. 输出反馈能使系统极点任意配置吗？不能，对完全能控的单输入单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭关系统极点的任意配置。

2. 若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成全状态反馈？根据图可得状态观测器方程：式中，为状态观测器的状态矢量，是状态x 的估计值；状态观测器的输出矢量；G 为状态观测器的输出误差反馈矩阵。