高等数学习题解答第一章（7-11）第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--ee e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim nx =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a ∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n nn n Λ11limlim22=+=+∞→∞→n n n n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n Λ第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim →x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x （5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim→x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x =1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim→x xx sin cos 1-=0lim →x 022=x x（7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n 第八节 函数的连续性与间断点 1. 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim 0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt tt t x x f1)(lim 0-=-→x f x∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性1. B2. 解：（1） 原式=39 （2）原式=-1 （3）原式=2ln )2sin limln(0=→xxx（4）原式=a xax x e x a x x ln ln lim 1lim0ln 0==-→→ 3. 解：由初等函数的连续性可知)(x f 在),0(),0,1(),1,(+∞---∞连续， )0(02sinlim )(lim 0f xx x f x x ≠==++→→ )(x f ∴在x=0处间断。

)1()(lim )2(lim )(lim 111-==+=-++-→-→-→f x f x x f x x x)(x f ∴在1-=x 处连续总上可得)(x f 的连续区间为（),0(),0,+∞∞-。

第十节 闭区间上连续函数的性质1.证明：令1ln )(-=x x x F ，则)(x F 在[]2,1连续，且0)12ln 2()2(,1)1(>-=-=F F ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一)2,1(∈ξ，使0)(=ξF ，即方程1ln =x x 至少有一个界于1与2之间的实根。

2. 证明：令3sin 2)(--=x x x F 在[]+∞,0联系，且0)3()(,03)0(>-=<-=ππF F ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一),0(πξ∈，使0)(=ξF ，即方程03sin 2=--x x 至少有一个界于0与π2之间的实根，所以原命题成立。

3. 证明：令xx f x F -=)()(，则)(x F 在[]b a ,上连续，并且0])([)(,0])([)(>-=<-=b b f b F a a f a F ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得0)(=ξF ，即至少存在一点[]b a ,∈ξ，使ξξ=)(f 。

第一章测试题一．选择题1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 二.填空题1. 22. 23.[]2,04.222+-x x 5. 2三.计算题 1. 原式()6193sin lim222=-+=→x x x x 2.原式11lim ==∞→nnn 3.原式()211cos 1cos 121cos 1lim ---→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=e x x x x x4.原式3313231132lim 1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+∞→n n n 5.原式33131sinlim2=+=+∞→xx x x6.原式211sin 1sin tan sin tan sin 103sin 1sin tan 1lim e x x x x x x x x x x x =⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⋅+-⋅-+→四(),2lim 23=-∞→x x x p x Θ()b ax x x x p +++=∴232 (),12lim lim 200=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=→→x b a x x x x p x x Θ ⎩⎨⎧==∴01b a ()x x x x p ++=∴232五.1,2cos 2lim 1-=∴=--→x xx πΘ处连续,cos 2lim 21∞=-→x x πΘ 21=∴x 为无穷间断点()101,2cos 2lim 11lim 11=∴==-=---+→→x f xx x x x πΘ为可去间断点2,1211lim2=∴+=--→x x x x Θ处连续六.设存在一点[]b a x ,∈,使()0>x f()()()b a x f b a ,,,0,∈'∴<∈ξξξξ之间至少存在一点，在由零点定理时，Θ 使()0='ξf又()[]b a x f ,在Θ无零点, ∴矛盾 ()[]上恒为负在b a x f ,∴ 七.设()()()a x f x f x +-=ϕ 则()()()()()()a f a f a a f f 2,00-=-=ϕϕ()()a f f 20=Θ ()()00<∴a ϕϕ 由零点定理∴至少存在一点[]a ,0∈ξ, 使得()()()0=+-=a f f ξξξϕ, 即()()a f f +=ξξ第二章 导数与微分第一节 导数概念1、(1) )(0x f ' (2) )()(0x f n m '+2、k3、(1)6165-x (2)32--x4、)(1000x x x y y -=- ； )(000x x x y y --=- 5、（2，21），（2-，21-）6、解：因为)0(0lim sin 1lim)(lim 0200f x x x x f x x x ====→→→ 所以)(x f 在0=x 处连续。

因为1)(sin lim )(lim )0()(lim lim 220000=∆∆=∆∆=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆→∆x xxx f x f x f x y x x x x所以)(x f 在0=x 处可导。

第二节 函数的求导法则1、3622ln 2-++x x x2、1)sin cos (0=-=x xxx e x e3、2222)1()(tan 2)1)(1(sec +--+-x x x x x x 或2222)1()(tan 2)1(tan +--+x x x x x x4、求下列函数的导数（1） x x x x x x 44)1(42)1(2322+=+=⨯+= （2）21arcsin 2xx -=（3）222222)1(1)1()2()1(x x x x x x -+=----= （4）2121)ln (ln 1ln 1)(ln xx n x x x x x n x n n n -=⨯-⨯⨯=-- （5）)21()2(2222x ex xee x x x -=-+=---（6）x x x xtan tan sec sec 1==（7）22222)1(4)(4)())(())((+=+=+---++=------xxx x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e e （8）)sin (cos sin cos cos 1x x n mx x mx m n n-⨯⨯⨯+=-)sin sin cos cos (cos1x mx n x mx m x n -=-5、解：当0≠x 时3242222)1(22)(2222x e ex x ex x x e x f x x x x +-=--⋅⋅='而当0=x 时，因为∞=∆=∆∆=∆-=∆∆=∆-∆→∆→∆∆→∆→∆→∆x x x x e x x f x f x f x x x x x x 1lim )()(lim )(1lim )(lim )0()(lim 03203)(0002所以不可导（也可由函数在0=x 处不连续得它在0=x 处不可导）综合练习题1、证：),(+∞-∞∈∀xxx f x f x f x x f x x f x y x f x x x ∆-∆=∆-∆+=∆∆='→∆→∆→∆)()()(lim)()(lim lim)(000 )0()()0()0(lim )(1)(lim )(00f x f xf x f x f x x f x f x x '=∆-∆+=∆-∆=→∆→∆2、证明：（1）设)(x f 是奇函数，且)(x f 可导xx f x x f x x f x x f x f x x ∆+∆--=∆--∆+-=-'→∆→∆)()]([lim)()(lim)(00 )()()(lim )()(lim 00x f xx f x x f x x f x x f x x '=∆--∆-=∆+∆--=→∆→∆ 即 )()(x f x f '=-'。

（2）设)(x f 是偶函数，且)(x f 可导x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆--=∆--∆+-=-'→∆→∆)()]([lim)()(lim)(00)()()()(lim )()(lim00x f x x f x x f x x f x x f x x '-=∆---∆-=∆-∆-=→∆→∆ 即 )()(x f x f '-=-'。

另：也可用复合函数求导法（1）[])()()()1)(()()()(x f x f x f x f x f x f x f '=-'⇒'-=--'='-⇒-=- （2）[])()()()1)(()()()(x f x f x f x f x f x f x f '-=-'⇒'=--'='-⇒=- 3、解：由于)(x f 在0=x 处不连续，因此)(x f 在0=x 处不可导000,,,2)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x e x f x 不存在4、（1）aa a xaxa aa a a axa a x a y xa a x a ax a a x a a x a a xaa211111ln ln ln ln ln +-+---++=⋅⋅+⋅+='（2）x x e xx x x x ey x x1tan 1sec 12)1(1tan 1sec 1sec 2)1(21sec 221sec 22⋅⋅=-⋅⋅⋅-⋅='--（3）121)1()1()1(1121111122-=+--+⋅+-⋅+-+='x x x x x x x x x y （4）'⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x x x x x y 1ln sin 1ln sin 2234222222sin 1ln sin 2cos 1sin 1ln )(2sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+⋅⋅-⋅= 5、解：当0>a 时，)0(01sinlim )(lim 00f x x x f ax x ===→→，所以)(x f 在0=x 处连续当1>a 时，01sin lim 0)0()(lim 100==---→→xx x f x f a x x ，即)(x f 在0=x 处可导，且0)0(='f但其导函数为⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--00,,01cos 1sin )(21x x xx x ax x f a a 当2≤a 时，在0=x 处不连续当2>a 及0≠x 时xx x axx f a a 1cos 1sin)(21---=' 有 )0(0)1cos 1sin (lim )(lim 2100f xx x ax x f a a x x '==-='--→→从而)(x f '在0=x 处连续。