n 1 1, (1)an 2 3n 3n 2, S n S n 1 n 2
s n 1
(n 1) (n 2)
0 (2)an 2n 1
公式法:若已知数列的前项和 S n 与 a n的关系，求数列 {an } 的通项也可用公式 求解
n ( n 1) 2
当给出递推关系求 an 时，主要掌握通过引进辅助数列能 转化成等差或等比数列的形式。 (an1 pan q)
5.构造法
例5.已知数列 {an} 的递推关系为 an 1 2an 1 ，且 a1 1 求通项公式 an 。
an 2 1
n
练习5．设数列{an }满足a1
2,
an an1 (n N ), 求an . an 3
2 an . n 1 2 3 1
例 6: 已 知 数 列 {an } 的 递 推 关 系 a2 3 ， 为 an 2 2an 1 an 4，且 a1 1， 求通项公式 an 。 解：∵ an 2 2an 1 an 4 ∴ (an 2 an 1 ) (an 1 an ) 4
an an 1 4 (n 1) 2
a3 a 4 2 2 2 ……
a4 a3 4 3 2
∴ an 2n2 4n 3
2(n 1)
数列通项公式的求法
观察法
公式法
累加法
累积法 利用前n项和
构造法（等差、等比数列）
a n 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系 3tSn (2t 3)S n1 3t (t 0, n 2,3,4,) 练习2：设数列 求 数列 a n 的通项公式
3.累加法 • 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此 数列的一个通项。
an n2 5 (n N )
1 an n
累积法 :一般地，对于型如 an 1 f (n) an 类的通项公式， 只要 f (1) f (2) f (n)的值可以求得时 ，则宜采用此方法求解。
an 1 3 an ， a1 2 ， 练4、已知数列 {an } 中， 求通项公式 an 。
n
an 2 3
令 bn an1 an 则数列{bn} 是以4为公差的等差数列 b1 a2 a1 2 ∴ bn b1 (n 1)d ∴bn an 1 an 4n 2 两边分别相加得： ∴a2 a1 4 1 2 an a1 4[1 2 3 (n 1)]
n2 an n 2 ; n 1
2 an ; n 1
a n (1) n 1 n n 1
2.公式法
• 例2：已知下列两数列{an}的前n项和 S 的公式，求 a n 的通项 公式。 3 2 • （1） S n n n 1 （2） n
n
( n 1) s1 主要是公式an 的运用 sn sn1 ( n 2)
求数列通项公式的 常用方法
临沂一中高二数学组
数列通项公式的求法
观察法
公式法 (利用前n项和)
累加法
累积法 构造法（等差、等比数列）
1.观察法
• 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： • （1）9，99，999，9999，… n an 10 1 • （2）
1 4 9 16 1 , 2 , 3 , 4 , 5 10 17 • （3 ） 2 2 1 2 1, , , , 3 2 5 • （4 ） 1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
累加法:一般地，对于型如 f (1) f (2) f (n) 类的通项公式， 只要能进行求和，则宜采用此方法求解。
练习3. 已知数列：a1 1, an1 an 2n求通项公式
an 2 1
n
4. 累积法 a n1 =n· an a1=1, (n+1)· an， • 例4：在数列｛ ｝中， an 求 的表达式。