习题习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。

证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。

写成矩阵形式为)0,,0,0(111),,,(112211121ΛΛM MM ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---s s s s s s λλλλλλααα。

由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---1122111111s s s s s B λλλλλλΛM MM ΛΛ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。

这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得s V V V +++Λ21是直和。

（2）)(⇒因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕⊇Λ21。

又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。

对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得s V V V V ⊕⊕⊕⊆Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

)(⇐因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，s i ,,2,1Λ=，其中n d d d s =+++Λ21，进而得V的基：111211,,,d αααΛ,,,,,,222221ΛΛd αααssd s s ααα,,,21Λ。

又知基向量中的每一个向量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。

习题设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=∆Λ，其中s λλλ,,,21Λ两两不同。

设}|)({DB BD F M B V n =∈=，证明：V 是)(F M n 的子空间，且22221dim s c c c V +++=Λ。

证明：对V B A ∈∀,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈∀,，有)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。

设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s c s cc E E E D λλλO2121，则由习题知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s B B B B O21，其中i B 为i c 阶方阵，s i ,,2,1Λ=。

进而对V B B B B s ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∀O21，都可由i 行，j 列元素为1，其余元素全为零的n 阶方阵ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(111∑∑=-=≤≤+sk k s k k c j i c 线性表示。

显然ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211Λc c j i c +≤≤+),1)(111∑∑=-=≤≤+sk k s k k c j i c 线性无关，构成V的一组基，所以22221dim s c c c V +++=Λ。

习题设A 为准对角阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A O21， 其中i A 是i n 阶矩阵，它的最小多项式是)(λi m 。

证明：)](,),(),([)(21λλλλs A m m m m Λ=。

（即A 的最小多项式是s A A A ,,,21Λ的最小多项式的最低公倍式。

） 证明：令)(,),(),(21λλλs m m m Λ为对角线上诸块s A A A ,,,21Λ的最小多项式，且)](,),(),([)(21λλλλs m m m h Λ=。

因)(λA m 为A 的最小多项式，则由0)(=A m A 可得0)(=i A A m ，s i ,,2,1Λ=。

又因i A 的最小多项式整除任何以i A 为根的多项式，所以)(|)(λλA i m m ，s i ,,2,1Λ=。

从而)(|)(λλA m h 。

又由于)(|)(λλh m i ，s i ,,2,1Λ=。

而0)(=i i A m ，故0)(=i A h 。

从而0)()()(1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s A h A h A h O。

于是又有)(|)(λλh m A 。

又因它们的首项系数都是1，故)](,),(),([)()(21λλλλλs A m m m h m Λ==。

习题求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：（1）n n A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111ΛMMM ΛΛ； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********1010A 。

解：（1）矩阵A 的特征多项式为)(111111111||1n A E n -=---------=--λλλλλλΛMM M ΛΛ。

由命题知，矩阵A 的最小多项式为)(n e -λλ，其中11-≤≤n e 。

经计算得=-)(nE A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM MM ΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---n n n 111111111ΛM M M ΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000000ΛM M M ΛΛ。

故矩阵A 的最小多项式为)(n -λλ，且无重根，所以A 可对角化。

（2）矩阵A 的特征多项式为)2)(2(1111001111||2+-=--------=-λλλλλλλλA E 。

由命题知，矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλe ，其中21≤≤e 。

经计算得=+-)2)(2(E A E A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210112*********2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2101121001211012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000000ΛM M M ΛΛ。

故矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλ，且无重根，所以A 可对角化。

习题如果n 阶方阵A 满足E A A 22=+，问A 可对角化吗答：A 可对角化。

事实上，由E A A 22=+可得022=-+E A A ，即得A 的零化多项式2)(2-+=λλλf ，而A 的最小多项式可整除A 的零化多项式，故A 的最小多项式只可能为1-λ，2+λ或)2)(1(2)(2+-=-+=λλλλλf ，无论哪一种，A 的最小多项式都无重根，故A 可对角化。

习题证明：（1）A 是幂零阵的充要条件为A 的特征值全为零；（2）n 阶方阵A ，如果存在正整数k k (可能)n >，使0=k A ，则必有0=n A 。

证明：（1）)(⇒因为A 是幂零阵，所以存在正整数m ，使得0=m A 。

由此可得A 的零化多项式为m f λλ=)(，由命题知，A 的最小多项式)(λA m 是m f λλ=)(的因式，故有k A m λλ=)(，其中m k ≤≤1。

又因A 的每一个特征值都是最小多项式的根，而k A m λλ=)(只有零根，所以A 的特征值全为零。

)(⇐反证法。

设n 阶方阵A 不是幂零阵，即对任意正整数m ，都有0≠m A 。

当然也有0≠n A 。

现有A 的零化多项式，即特征多项式为s c s c c A A E )()()(||)(2121λλλλλλλλ---=-=∆Λ，其中n c c c s =+++Λ21，s λλλ,,,21Λ为A 的所有不同的特征值。

显然，s λλλ,,,21Λ不能全为零 。

否则0)(≠=∆n A A A ，与)(λA ∆是A 的零化多项式矛盾。

另一方面，s λλλ,,,21Λ不全为零又与题给条件矛盾。

故命题得证。

（2）当n k ≤时，由0=k A 可得：00===--k n k n k n A A A A 。

当n k >时，由0=k A 可得A 的一个零化多项式k f λλ=)(。

所以A 的最小多项式l A m λλ=)(，其中k l ≤≤1。

又由于A 的零化多项式之一，即特征多项式||)(A E A -=∆λλ是n 次多项式。

所以A 的最小多项式的次数n l ≤，且有0)(==l A A A m ，故有00===--l n l n l n A A A A 。

习题设A 为n 阶方阵，多项式158)(2+-=λλλf ，34)(2+-=λλλg ，使0)(=A f ，0)(=A g 。

求A 的最小多项式。

解：设)()()(λλλg f h -=，即得-+-=158)(2λλλh 124)34(2+-=+-λλλ。

因为0)(=A f ，0)(=A g ，所以有0)()()(=-=A g A f A h ，即)(λh 为A 的零化多项式。