三、定义新运算（一）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.规定a ☉b =
a b b a -,则2☉(5☉3)之值为 .
2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=
,若6※x 3
22=,则x =
.
3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则
<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .
4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成
[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .
5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .
6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .
7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x , 那么x = .
8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .
9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .
10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和
是 .
二、解答题
11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).
12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.
对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).
13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ;
33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g .
试求下列的值:
(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;
(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.
14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;
(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .
———————————————答 案—————————————————————— 1. 120
411. 5☉3=15
165335=-,
2☉(5☉3)=2☉120
41112016121516
15
1621516==-=.
2. 8.
依题意,6※326x x +=
,因此3
22326=+x ,所以x=8.
3. 280.
;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<
.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=< 原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.
4. 5.
因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知
[22]=4,[7]=2.
原式52)46(=÷+=.
5. 9.
因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.
6. 0.
89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.
7. 6.
因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .
8. 86415.
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
9. 25.
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.
10. 14.
第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .
11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).
12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.
13. (1)()72)128(7==f f ;
(2)()())81(342)16(44g g f f ====;
(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以
6)27()8(=+g f ;
(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.
()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.
14. (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.
2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13.
因此(2)的解为x =3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.
方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.
当y =7时,分两种情况解19☉x =7.
1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.
2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.
当y =14时,分两种情况解19☉x =14.
1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.
2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.
总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45.。