学生学习情况的评价与预测模型【摘要】在评价学生的学习状况时，科学准确地计算出学生的名次及进步情况具有重要意义。
评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。
然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。
本文针对题目中所给问题，对学生的学习成绩评价以及预测展开了全面分析。
首先，在问题（1）中，我们通过Excel数理统计的方法，将学生的分数划分为优秀（80-100）、良好（60-79）和不及格（0-59）三个分数段，并且统计出相应分数段的分布率。
然后，我们根据三个分数段建立加权函数，计算出所有学生在四个学期相应的加权值，进而得出学生的整体学习情况在进步。
其次，对于问题（2），我们针对现行评价方式中绝对分数的片面性，采用Hale进步分方法和…，全面客观地评价这些学生的学习状况。
在Hale模型中，利用Hale提出的指数函数模型，对全体学生的成绩进行计算分析评价。
利用Hale模型还对整体情况作了评测，得到学生成绩整体稳定，略有起伏的结论。
……..；在********模型中，…………….。
接下来的问题（3），在预测学生后两个学期的学习情况时，我们主要使用了两种预测方法。
首先，建立灰色预测模型，结合第一学期至第四学期的学生成绩，通过Matlab对后两个学期的成绩做出预测分析。
然后，同理预测出第四个学期的成绩，结合第四个学期的实际分数对该模型进行了检验。
其次，我们又建立了基于趋势比率法的“季节指数”的模型，把学生成绩的波动以一学年为一个周期并将学年中的1，2学期比作季节1，2最终得到一个较好的结果。
关键字：加权函数，Hale进步方法，灰色预测模型，趋势比率法1.问题重述评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。
然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。
附件1给出了612名学生连续四个学期的综合成绩。
1.请根据附件数据，对这些学生的整体情况进行分析说明；2.请根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；3.试根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。
2.问题分析现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。
因此，学生成绩的好坏并不能单纯地用绝对分数来决定，为了能够比较科学地反映出学生的学习情况，我们还应该考虑他们的学习进步情况。
然而，学生的进步也并不是仅仅取决于他们的绝对分数增长值，还应该比较他们学习的相对基础，计算他们的相对进步分，即Hale进步分。
显然，基础好的学生，再进步的余地比较有限，而且进步变得更加艰难；同时，基础差的学生呢个，再进步的空间比较大，进步也相对容易。
问题一，既然要对学生在四个学期的学习情况进行整体评价，那么我们应该根据一些反映总体样本的统计值，比如总体平均值、方差、标准差等对Excel里的数据进行统计分析。
同时，我们还要考虑每学期成绩的分布情况，即不同分数段学生的分数。
然后，我们综合这些评价指标，对四个学期学生的学习情况进行比较和整体评价。
问题二，现行的评价方法在评价学生的学习情况时，具有比较大的片面性。
成绩优秀的学生在评价过程中一直处于优势地位，而成绩较差的同学在取得一定进步后可能会仍然被忽视。
在分析现行评价方法的弊端后，采用两种或以上合理的方法，建立相应的数学模型并求解，全面客观地评价这些学生的学习状况；最后，比较几种模型的优缺点，指出他们改进的地方。
问题三，由于影响考试成绩的因素错综复杂,其中有些因素也难以控制,使考试成绩的随机性较大,往往有一定的摆动性.因此,采用常规方法建立简单实用的考试成绩预测模型是有困难的. 但这些因素是相关联的,共同作用对学生的成绩产生影响。
对于解决此问题我们利用两种模型进行求解：GM(1,1)模型和基于趋势比率法的“季节指数”的模型在GM(1,1)模型中可以把它看作是一种灰色系统,这种系统中各种因素的相互作用机理、发展过程及结果不可能作出详尽、具体的分析[1]，但是,灰色系统理论认为,学生的考试成绩(分数)已携带着充分的信息,采用一定的数据生成方法,减少数据的随机性,增加数据的规律性,在此基础上,不需要太多的数据就可以建立每个学生的考试成绩灰色预测模型。
把前i个学期的学期分数x（i）作为原始数据列,运用灰色系统方法,拟合建立预测模型,对此后的学期平均分数进行预测. 原始数据列x（i）是非负数据列,但不能保证x（i）是单调的,即x（i）可能是摆动的.应该采用累加的方法生成中间数据.设W(i)是前i学期分数的累加值,学生在一学期中所有课程的考试成绩全是零分的情况一般是不会出现的,因而学期分数经一次累加就可得到单调递增的非负数据列,呈现出某种规律性. 这就可以采用微分拟合建模的方法,建立单变量一阶微分模型(灰色预测模型)从现实出发我们不难知道学生的成绩一般不会出现较大的波动，因此我们可以假设将其看作是一个围绕一定时间波动的周期函数，由此我们而且这种情况在实际中也是符合常理的，所以为了后面对接下来两个学期成绩的预测能与已知的数据更好的结合，把这种周期性和一年中的四季类比起来，建立基于趋势比率法的“季节指数”的模型来对后面的两个学期进行预测，在此题中我们是以两个学期作为学生的一个周期（也就是相当以一年为一个周期来看待学生成绩呈现周期变化的时间段）。
我们利用此方法的思想，对所给学生采取随即抽取的方法，以这种随机性选择的学生作为其他学生的代表来体现该种方法的特点，就如我们在灰色模型中所做的一样。
3.模型假设针对上述问题，建立以下合理的假设：1. 所有学生的成绩公平可信；2. 在短时期内学校的教学质量不变；4.模型建立与求解问题（1）的分析：首先，我们将100分为满分的分数分为三段，即80-100分为优秀，60-79分为良好，0-59分为不及格。
然后在Excel中统计每个学期，这三个分数段学生的人数，并计算出相应的概率。
图形如下：图1各个学期学生成绩的直方图表1各个区间的人数及概率第一 学期第二 学期第三 学期第四 学期人数 频率 人数 频率 人数 频率 人数 频率 100>=x>=80 138 206 130 194 80>x>=60 415 356 447 392 60>x>=0 59503526然后，我们建立一个基于三个分数段的加权函数，并且令成绩优秀、良好和不及格的权重分别为，，，[2]函数如下：32135.0*3.0*35.0i i i i xx x Y -+= （i=1,2,3,4） （1）其中y i 表示第i 个学期的加权值，x 1i 表示第i 个学期成绩优秀的概率，x 2i 表示第i 个学期成绩良好的概率，x 3i 表示第i 个学期成绩为不及格的概率。
由图1和表1可知，在四个学期中，学生的成绩集中处于良好状态，不及格的人数其次，而成绩优秀的人数较少。
并且，在四个学期中，第三学期成绩良好的学生人数最多（约为450人），超过了所有学生人数的三分之二，不及格人数较少，因而学生的学习情况较好；而在第二学期中，不及格的人数最多（超过了200人），约占所有学生人数的三分之一，并且成绩优秀的人数此时最少，因而学生的学习情况较差。
通过该图，我们可以看到，第一学期和第二学期的学生成绩在四个学期中处于中间状态。
我们在综合评价一学期的成绩需要对各阶段人数的频率做一个加权平均以此综合评价学生总体一学期的成绩的好坏，在加权平均时主要是从不及格率和优秀率两方面考虑因此我们赋给不及格率和优秀率的权重各为而对中间部分赋权中位由此得到评价一学期总体好坏的函数为32135.0*3.0*35.0i i i i xx x Y -+=其中x 1i , x 2i , x 3i 分别表示一学期中优秀率的频率，良好率的频率，不及格率的频率得出的结果为：第一学期：，第二学期：,第三学期：，第四学期：，从上的结果可以得出学生的整体成绩在进步。
问题（2）的模型建立与求解4.2.1模型建立：在对学生的评价中，只看一个学生的成绩显然是不合理的。
因为每次考试的难易程度不一，因此分数的增减并不能完全反映出学生的学习情况。
因此，我们对数据做标准化处理，处理方式是σXX T i i -=(2)其中i X 是第i 个学生的成绩，X 是所有学生成绩的平均值，σ是方差。
得到的i T 就能够反映出这个学生在总体中的位置。
不妨称i T 为标准分。
另外，学生的基础有好有差，成绩差的原因可能是因为他的基础不好，我们不能因为他的成绩差而否定了他的努力。
当然，他努力了成绩就会有所进步，因此我们可以通过看他是否进步来评价他的学习情况。
进步可以体现为标准分的提高。
但是，我们注意到，两次考试成绩的标准分之间的差值并不能完全反映出学生的努力情况，比如从50分进步到60分和从80分进步到90分的两个同学的标准分可能相差不大，但是他们付出的努力是明显不同的。
为了消除这方面的影响，我们采用美国预测学家Hale 提出的模型[3]来反应学生的进步情况。
Hale 模型是用指数函数来反应进步的，具体模型为1e e--=k kT T y λλ(3)其中k T 、1-k T 是学生第k 和第k -1次的成绩（标准分），是反应进步难度的进步难度系数，y 就是反应一个学生取得进步的指标，我们称之为“进步分”。
这个模型很好地消除了基础差异在考虑取得的进步是的影响。
当成绩从T 0进步到T 时，进步分)1e (e e e000)(-=-=∆∆+T T T T T y λλλ (4)由于T >0，因此当T 相同时进步分y 随T 0的增大而增大。
也就是说，当取得同样的进步时，初始成绩越好进步分越大。
这与我们要解决的问题是相符合的。
Hale 模型中的参数是反应进步难度的进步难度系数，Hale 将其定义为}min{}max{max 1e e--=k k T T y λλ(5)y max 是人为规定的进步分的最大值，max{T k }和min{T k -1}分别是第k 次和第k -1次测试所有成绩中的最大值和最小值。
4.2.2模型求解：我们用Hale 模型对学生成绩的标准分进行处理。
这里进步难度系数仍采用Hale 所定义的形式，但是为了消除个别极端数据的影响，这里最大值和最小值采用的是去最大和最小10个数据取平均值的方法。