先计算A的概率
这是一种有放回的摸球,连续摸3次球,基本事件的
总第数二为 次都5×摸5到×黑5=球12，5。第事三件次摸A到白球相。当于第一次和
固A 包含的基本事件数为:P41P41P11 16
P( A) 16 125
由加法公式推论2可知:
PA 1 P(A) 1 16 109
因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
B A
于是，根据事件积的关系
P(B
A)

PAB PA

PB PA

0.4 0.8

0.5
例8 一个口袋盛有8个白球、5个红球，无放回抽取3次，
每次抽取一球。试求下列事件的概率：（1）第三次才 取得红球的概率；（2）3次内取得红球。
解 设Ai 第i次取到红球， i 1,2,3
(2)
P( A
B)

PA B PB

PA B PB

1 0.168 1 0.09

0.9143
例7
某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解 设 A {活到20岁} B {活到25岁}
显然，B A {现龄为20岁的这种动物活到25岁}
P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 )
PA PA A PA A A
1
1
2
1
2
3
5 8 5 8 7 5 0.8042 13 13 12 13 12 11
对于3次内取得红球概率，另一种解法是：
1 P
A1 A2 A3
例2
在打靶中，若“命中10环”的概率是0.40，“命中8环 或9环”的概率是0.45，求“至少命中8环”的概率
解: 设： A {命中10环}， B {命中8环或9环}
C {至少命中8环}
C (A B)
AB
PC P(A B) PA PB 0.85
例3
1
2
3
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
12
23
推论1 如果事件 A, B 互不相容，则
P(A B) PA PB
推论2 对于任意事件A，有 PA P A 1
例1
两人同时向目标射击，甲击中目标的概率0.8，乙击中 目标的概率0.85，两人同时击中目标的概率0.68，求 目标被击中的概率。
解: 设： A {甲击中目标} B {乙击中目标}
( A B) {击中目标}
有： P( A) 0.8 P(B) 0.85
P( A B) 0.68
有定理1概率加法公式：
方法一 P(A B) PA PB PAB 0.97
方法二 P(A B) PAPB PAPB PAB 0.97
1 8 7 6 0.8042 13 12 11
事件A的概率称为条件概率，记为 P( A B)
例5
一批同类产品共14件，共中由甲厂提供的6件中有4件 优质品；由乙厂提供的8件中有5件优质品。试考察 下列事件的概率
(1)从全部产品中任取一件是甲厂的产品
(2)从甲厂提供的产品中任取一件，而且恰是优质品 (3)从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品
解 B {取得甲厂提供的产品} A {取得产品为优质品}
第三节 概率运算
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率的乘法公式
一、概率的加法公式
定理1 对于任意两个事件 A, B 有
P(AB) PA PB PA B
概率的加法可以推广有限个事件和的情形：
PA A A PA PA PA PA A PA A PA
(1)第3次才取到红球为A1

A 2

A ,故 3
p A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
8 7 5 0.1632 13 12 11
(2)3次内取到红球，即为A1 A1 A2 A1 A2 A3,故
(1)
P(B)
C1 6

3
C1 14
7
（2）这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率
P(A B)
所以P( A B)

C1 4

2
C1 6
3
3 AB {从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品}
即有P( AB)
C1 4
2
C1 14
7
本例不难发现
P( A B)

PAB PB
P(B) 0
2
n
1
21
3 12
n 12
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设 A {甲市为雨天} B {乙市为雨天}
125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
二、条件概率与概率的乘法公式
1、条件概率 在实际问题中，有时需要求在事件B已发生的条 件下，事件A的概率。由于增加了条件“事件B已 发生”，所以称之为条件概率。
定义1 若 P(B) 0 则把事件B已发生的条件下，
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设：A 恰好第i次打开门 i B 三次内把门打开
则 BA A A
1
2
3
且
A1, A2, A3 两两互不相容
有：
p(
A1 )

1 5
p(
A2
)

4 5

1 4

1 5
p(
A3
)

4 5

3 4

1 3

1 5
P(B) P(A1 A2 A3) PA1 PA2 PA3 0.6
例4
贷中装有4个黑球和一个白球,每次从贷中随机摸出一球, 并换入一个黑球,连续进行.求第3次摸到黑球的概率.
解:设： A 第3次摸到黑球 A {第3次摸到白球}
P(B
A)

PAB PA
P(A) 0
2、概率的乘法公式
定理2 对事件 A, B 若 P(B) 0 P( A) 0
则有： P( AB) PAPB A
或P(AB) PBPAB
n 以上公式从大量的实验总结有，对于
个事
件
A1, A2,, An有
, A ,A ) PA PA A PA A A PA A A
P( A) 0.12 P(B) 0.09
两市至少有一市为雨天 P( A B) 0.168
概率加法公式有
P(AB) PA PB PA B 0.12 0.09 0.168 0.042
(1)
P(B
A)

PAB PA

0.042 0.12

0.35