则称函数 f (x)在区间 (a,b) 内可导。这时对于区间 (a,b)
内的每一个 x 值，都有惟一确定的导数值 f (x)与之对应，
这样就构成了一个新的函数，称为函数 y f (x)对 x的导
函数，记作
y
，f (x) ，
dy dx
或
df (x) dx
即
y lim f (xx) f (x)
用边际函数来分析经济量的变化，就称为边际分析。
概念3：边际成本(marginal cost) 设生产某种产品的总成本函数为C(Q) ，当总成本函数可导
时，其导数C(Q)叫做产量为Q 时的边际成本。
8
第一节 边际成本问题及解决方案
我们来分析边际成本的经济意义 C(Q) lim C Q0 Q
的总额。一般情况下，成本用 C表示，产品产量用 Q表
示，则成本是产量的函数，称为成本函数，用C(Q)表示。 它由固定成本和可变成本组成。
3
案例1：我们以成本函数 C(Q) 10 1 Q2 为例，考查产量 100
（1）在 Q0 10 处的变化率；
（2）在 Q0 20处的变化率。
第一步：求 C ： C C(10 Q) C(10)
x0
x
x (a,b)
在不至于引起混淆的情况下,导函数也简称为导数。
7
概念2：边际函数(marginal function) 设函数 y f (x) 在 x处存在导数，则称导数 f (x)为函数 f (x)
的边际函数。称 f (x)在 x0 处的值 f (x0 ) 为边际函数值。
解
C(Q)=0.08Q (百元／件)
C(100)=0.08100 =8 (百元/件) =800 (元／件)
由边际成本可知，生产第100件产品的基础上再生产一个 单位产品，总成本的改变量为800元
10
案例5：求成本函数为C(Q)=0.001Q3 0.3Q2 40Q 2000 的边际成 本函数，以及产量分别为50、100、200时的边际成本，并指出 它们的经济意义。
当 Q 很小时，有 C(Q) C Q
当 Q 1 ,即在产量为 Q时若再生产“一个单位”产品，且 “一个单位”与 Q 值相比来说很小时，则有
C(Q) C
边际成本 C(Q) 的经济意义为：在产量为 Q 时再生产一个 单位产品，总成本的改变量 C(的近似值)
9
案例4：生产某产品Q 件时的总成本函数为C(Q)=500 0.04Q2 （百元），求产量为100件时的边际成本。
第三步：求极限
lim C lim（1 Q ）= 1 Q0 Q Q0 5 100 5
5
所以，成本函数
C(Q) 10 1 Q2 100
在
Q0
10
处的变化率为
1 5
同理，成本函数
C(Q) 10 1 Q2 100
在
Q0
20
处的变化率为
2 5
定义1：设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且
边际收益 R(Q) 的经济意义为： 当销量为 Q个单位产品时，再销售一个单位产品，总收 益的改变量（增量） R （的近似值)
13
案例1：销售某商品 Q
台的收益函数为 R(Q)

800Q

Q
2
（元），
试求：（1）边际收益函数；
4
（2）销量为200台时的边际收益。
解 （1）边际收益函数为 R(Q) 800 Q （元／台） 2
（2）销量为200台时的边际收益为
R(200) 800 200 700 （元／台）
2
14
案例2：设某产品的收益函数为 R(Q) 200Q 0.01Q2（元）， 试求：（1）边际收益函数；
（2）产量分别为9000、10000、11000台时的边际收 益，并说明其经济意义。
解 （1）边际收益函数为 R(Q) 200 0.02Q（元／台）
解 C(Q)=0.003Q2 0.6Q 40 于是，产量Q 为50、100、200时的边际成本分别为
C(50)=0.003 502 0.6 50 40 17.5
11
C(100)=0.0031002 0.6100 40 10 C(200)=0.003 2002 0.6 200 40 40
问题引入
从杭州开往南京的长途车即将出发。无论哪个公司的 车，票价均为50元。一个匆匆赶来的乘客见一家国营 公司的车上尚有空位，要求以30元上车，被拒绝了。 他又找到一家也有空位的私人公司的车 ，售票员二 话没说，收了30元允许他上车了。哪家公司的行为更 理性呢？
2
总成本：是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资 源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用
它们的经济意义是: 在产量 Q分别为50、100、200时的基础上再生产一个单位 产品，总成本的增加分别为17.5、10、40。
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概念1：边际收益(marginal benefit)： 设销售某种产品Q 个单位时的总收益函数为 R(Q) 。当 总收益函数可导时，其导数 R(Q) 叫做销量为 Q 时的 边际收益。
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x)在点
x
处的导数，记作
0
f (x0 ) ，
y|x

x0
，
dy dx
或
x x0
df (x) dx xx0
并称函数 f (x) 在点 x0处可导。
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定义2：设函数 y f (x)在区间 (a,b)内的每一点都可导，
10 (10 Q)2 (10 102 )
100
100
1 [100 20 Q ( Q)2 100] 100
Q ( Q)2 5 100
4
第二步：求平均变化率 C
Q
C C(10 Q) C(10)
Q
Q
Q ( Q)2 5 100
1 Q
Q
5 100
（2） R(9000) 200 0.029000 20（元）
R(10000) 200 0.0210000 0 （元）
R(11000) 200 0.0211000 20（元）
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经济意义为： 当产量为9000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 增加20元； 当产量为10000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 没有增加； 当产量为11000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 减少20元。